Question

问一个高中数学问题，不用三维坐标系来解，用立体几何的知识

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=1／3PC ，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

第一问很好做，因为底面为菱形，且一个角为60度，所以三角形ABD为正三角形，又知Q为AD中点，所以可知BQ垂直于AD，还有PA=PD，又可知三角形PAD为等腰三角形，Q为中点，所以可知PQ垂直于AD，面PAD中的直线AD都垂直于PQB面内的两条直线BQ和PQ，所以这两个面垂直。

第二问

Answer 2

（1）底面ABCD是一个有60°锐角的菱形，所以ABC是正Δ，Q是中点，所以BQ⊥AD,①
在ΔPAQ和PDQ中, PA=PD,AQ=DQ,PQ=PQ, 两Δ全等，所以∠PQA=∠PQD=90°,即PQ⊥AD②
由①，②得AD⊥平面PQB， AD在平面PAD中，所以平面PQB⊥平面PAD
(2)平面PAD⊥平面ABCD, ΔPAD是正Δ，得PQ⊥AD,所以PQ⊥ABCD,连接QC, 作MNǁPQ,交QC于N, 所以MN⊥ABCD,过点N作NR⊥BQ于R,连接MR，所求角为∠MRN记为θ
因为PM=1/3PC, 所以QN=1/3QC
在ΔQCD中，QD=1, CD=2, ∠QDC=120°,由余弦定理得QC^2=1+4-2*1*2*(-1/2)=7, QC=√7， QN=√7/3,
PQ=2*√3/2=√3, 所以MN=2/3*PQ=2√3/3
过点N作NR⊥BQ, 因∠CBQ=∠CBD+∠DBQ=60°+30°=90°,所以BC⊥QB, 故BCǁNR, NR=1/3*BC=2/3
tanθ=MN/NR=(2√3/3)/(2/3)=√3, θ=60°

Answer 3

1因为PA=PD，所以pq垂直于AD，又ABCD为菱形，BAD为60°，AQ=QD，则QB⊥AD,则AD⊥面PQB，那么平面PQB⊥平面PAD。
2过P做BC的平行线，延长BM交其于点N，那么PN=1，根据已知条件可得，PQ⊥面ABCD，QD=1，那么二面角M-BQ-C=角NQD=60°

Answer 4

（1） 略
（2）连接QC、BD交于E，作EF⊥BQ于F，连接ME、MQ、MF
......
关键一步，求出:
MQ^2=19/9 = MF^2+QF^2=19/9
......
二面角M-BQ-C等于角MFE

60°

写起来 太麻烦

Answer 5