Question

点F1,F2是双曲线x^2-y^2/3=1的焦点，三角形PF1F2的内切圆半径的范围

Answer 1

实半轴a=1,虚半轴b=√3，半焦距c=√(1+3)=2.
设内切圆与PF1，PF2，F1F2的切点分别为G，H，K。内切圆圆心为Q。
假设P在左支上。【根据对称性，在右支上的情况与之相同】。
则(PF1+PF2)-F1F2=2GP。
根据双曲线的定义，PF2-PF1=2a
→PF2=PF1+2a
所以(2PF1+2a)-F1F2=2GP
→2(PF1-GP)=F1F2-2a
→PF1-GP=c-a
→F1G=c-a=1。
而对于内切圆，F1G=F1K，故 F1K=1
也就是说，K点是固定的，
KO=c-F1K=2-1=1 【O为原点】
即K坐标 (-1，0)
QK垂直x轴，则Q点在直线x= -1上。
QK=r，为内切圆半径
而r=F1K·tan∠QF1K=1·tan∠QF1K = tan∠QF1K，
∠QF1K是∠PF1K的半角，
所以只要确定∠PF1K的范围就能确定内切圆半径r的范围。
显然，∠PF1K≥0，且不会超过渐近线y= -√3x 的倾斜角。
y= -√3x 的倾斜角为 2π/3，
则∠QF1K＜π/3。
则 r≤tan(π/3)=√3。
则三角形PF1F2的内切圆半径的范围是
0≤r＜√3

Answer 2

解
[[1]]
双曲线: x²-(y²/3)=1.
a²=1, b²=3, c²=4.
∴F1(-2, 0), F2(2, 0)
由对称性,不妨设动点P在第一象限.
P(X, Y), x,y＞0.
该三角形面积S=2y=(2√3)√(x²-1)
. 周长C=6+2|PF2|=4(x+1)
∴内切圆半径R=(2S)/C=(√3)×√{1-[2/(x+1)]}. x＞1
∴0＜R＜√3

追问

S=2y=(2√3)√(x²-1)
. 周长C=6+2|PF2|=4(x+1)
没看懂，麻烦你再帮忙解释一下。我明白了。谢谢

Answer 3

说明2012-6-3 07:23 zqs626290 | 中: 周长C=6+2|PF2的由来:
因为定义有PF1=PF2+2a ,代人周长C=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2|PF2|+2a+2c=2|PF2|+6 ,再用两点间距离公式和x²-(y²/3)=1.消去y 得 周长C=6+2|PF2|=4(x+1) 又S=2y=(2√3)√(x²-1)代人S=RC/2 即代人
R=(2S)/C中 懂了吧

,

Answer 4

P点在哪，内切圆圆心在y轴上，设为（0，y）半径为y，再根据三边关系求吧

追问

答案是（0，根号3）

Answer 5

P点没说清,题目不说清怎么做

追问

p在双曲线上，谢谢