Question

设有数列{an},a1=5/6，若二次方程anx^2-a(n+1)x-1=0的根满足α β且3α+αβ+3β=1，求数列前n项和Sn

步骤详细点，非常感谢各位朋友的帮助了！

Answer 1

看图片

追问

为什么这么考虑，出现x的那一步是怎么想到的？谢谢

追答

这是一种常见的求数列的通项公式的方法。如下的第二点：
构造等比数列法：
1 定义构造法。利用定义q=a(n+1)/an,通过变换，构造等比数列。
2.a(n+1)=Aan+B(A.B为常数)，可化为a(n+1)+x=A(an+x)的等比数列。
3.a(n+1)=Aan+B*C^n(A.B.C为常数)。
可构造为a(n+1)+x*C^(n+1)=A(an+x*C^n)的等比数列。
4.a(n+1)=Aan+Bn+C
化为a(n+1)+x1n+x2=A(an+x1(n-1)+x2)的等比数列。

Answer 2

∵二次方程anx^2-a(n+1)x-1=0的根满足α β且3α+αβ+3β=1
∴α＋β＝an+1/an αβ＝﹣1/an 3α＋αβ＋3β＝3(α＋β)－αβ＝(3an+1－1)/an＝1
∴3an+1－1＝an ∴3(an+1－2/3)＝an－2/3
∴﹛an－2/3﹜是等比数列 ∴an－2/3＝(a1－2/3)×(1/3)^(n－1)
∴an＝1/2(1/3)^n＋2/3
∴Sn＝1/2×[1/3＋(1/3)²＋…＋(1/3)^n]＋2/3×n＝1/4[(1/3)^n－1]＋2n/3

追问

3(an+1－2/3)＝an－2/3
这一步不对吧？