Question

已知抛物线y=x2-px+p2-14（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；（2）证明

已知抛物线y=x2-px+p2-14（1）若抛物线与y轴交点的坐标为（0，1），求抛物线与x轴交点的坐标；（2）证明：无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；（3）若抛物线的顶点在x轴上，求出这时顶点的坐标．

Answer 1

（1）对于抛物线y=x²-px+

p

2

-

1

4

，
将x=0，y=1代入得：

p

2

-

1

4

=1，即p=

5

2

，
∴抛物线解析式为y=x²-

5

2

x+1，
令y=0，得到x²-

5

2

x+1=0，
解得：x₁=

1

2

，x₂=2，
则抛物线与x轴交点的坐标为（

1

2

，0）与（2，0）；
（2）∵△=p²-4（

p

2

-

1

4

）=p²-2p+1=（p-1）²≥0，
∴无论p为何值，抛物线与x轴必有交点；
（3）抛物线顶点坐标为（

p

2

，-

p2

4

+

p

2

-

1

4

），
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴-

p2

4

+

p

2

-

1

4

=0，
解得：p=1，
则此时顶点坐标为（

1

2

，0）．