已知函数是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解,求此微分方程 50
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富港检测技术(东莞)有限公司_
2024-04-02 广告
2024-04-02 广告
正弦振动多用于找出产品设计或包装设计的脆弱点。看在哪一个具体频率点响应最大(共振点);正弦振动在任一瞬间只包含一种频率的振动,而随机振动在任一瞬间包含频谱范围内的各种频率的振动。由于随机振动包含频谱内所有的频率,所以样品上的共振点会同时激发...
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原微分方程应该是“y"-y'-2y=f(x),且f(x)=(1-2x)e^x,y(0)=1,y'(0)=6”。
其过程是,∵是二阶常系数微分方程,∴e^(2x)、e^(-x)对应的是其齐次方程的通解,xe^x对应的是f(x)=(1-2x)e^x的特解【r=1非特征方程的根,不然就不是常系数方程】。
而,按照齐次方程的特征根对应关系,有(r-2)(r+1)=r²-r-2=0。∴齐次方程为y"-y'-2y=0。其通解为y*=(c1)e^(2x)+(c2)e^(-x)。
设原方程的通解为y=y*+xe^x,求出y'。∴y(0)=c1+c2=a,y'(0)=2c1-c2+1=b。将c1=2、c2=-1代入,a=1,b=6。
综上所述,微分方程是,y"-y'-2y=f(x),且f(x)=(1-2x)e^x,y(0)=1,y'(0)=6。
供参考。
其过程是,∵是二阶常系数微分方程,∴e^(2x)、e^(-x)对应的是其齐次方程的通解,xe^x对应的是f(x)=(1-2x)e^x的特解【r=1非特征方程的根,不然就不是常系数方程】。
而,按照齐次方程的特征根对应关系,有(r-2)(r+1)=r²-r-2=0。∴齐次方程为y"-y'-2y=0。其通解为y*=(c1)e^(2x)+(c2)e^(-x)。
设原方程的通解为y=y*+xe^x,求出y'。∴y(0)=c1+c2=a,y'(0)=2c1-c2+1=b。将c1=2、c2=-1代入,a=1,b=6。
综上所述,微分方程是,y"-y'-2y=f(x),且f(x)=(1-2x)e^x,y(0)=1,y'(0)=6。
供参考。
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已知y=2e^(2x)-e^(-x)+xe^x是某二阶常系数非齐次线性方程的解,求此微分方程。
解:二阶常系数齐次线性方程:y''+py'+qy=0的通解为:y=c₁e^(r₁x)+c₂e^(r₂x);
与题目所给齐次方程的通解: y=2e^(2x)-e^(-x)对照可知:c₁=2,c₂=-1;r₁=2,r₂=-1;
由此通解可求出其特征方程 r²+pr+q=0的系数:两根之和=r₁+r₂=2-1=1=-p,故p=-1;
两根之积=r₁r₂=-2=q,即q=-2;∴相应的齐次方程为:y''-y'-2y=0;
设所求二阶非齐次线性方程为:y''-y'-2y=f(x).............①;
由所给方程可知有特解y*=xe^x; 那么对此求导:
y*'=e^x+xe^x=(1+x)e^x; y*''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x;
代入①式得:(2+x)e^x-(1+x)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x=f(x);
∴ 所求二阶常系数非齐次线性方程为:y''-y'-2y=(1-2x)e^x;
解:二阶常系数齐次线性方程:y''+py'+qy=0的通解为:y=c₁e^(r₁x)+c₂e^(r₂x);
与题目所给齐次方程的通解: y=2e^(2x)-e^(-x)对照可知:c₁=2,c₂=-1;r₁=2,r₂=-1;
由此通解可求出其特征方程 r²+pr+q=0的系数:两根之和=r₁+r₂=2-1=1=-p,故p=-1;
两根之积=r₁r₂=-2=q,即q=-2;∴相应的齐次方程为:y''-y'-2y=0;
设所求二阶非齐次线性方程为:y''-y'-2y=f(x).............①;
由所给方程可知有特解y*=xe^x; 那么对此求导:
y*'=e^x+xe^x=(1+x)e^x; y*''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x;
代入①式得:(2+x)e^x-(1+x)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x=f(x);
∴ 所求二阶常系数非齐次线性方程为:y''-y'-2y=(1-2x)e^x;
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