Question

（2012?石景山区一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的

（2012?石景山区一模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF． （1）四边形AECD的形状是______；（2）若CD=2，求CF的长．

Answer 1

（1）四边形AECD的形状是平行四边形，理由为：
∵E为AB的中点，
∴AE=EB=

1

2

AB，又AB=2CD，即CD=

1

2

AB，
∴DC=AE，又DC∥AE，
∴四边形AECD为平行四边形；

（2）∵四边形AECD是平行四边形，且CD=2，
∴AE=CD=2，
∵E是AB的中点，
∴AE=EB=2，AB=2CD=4，
∵四边形AECD是平行四边形，
∴EC∥AD，EC=AD，又∠A=60°，
∴∠BEC=∠A=60°，
又∵AB⊥BC，
∴∠EBC=90°，
在Rt△EBC中，∠ECB=90°-60°=30°，EB=2，
∴EC=2EB=4，
∴BC=

EC2?EB2

=2

3

，
∴AD=EC=4，…（3分）
∵F是AD的中点，
∴AF=2，
又∵AE=2，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=2，∠AEF=60°，
又∵∠CEB=60°，
∴∠FEC=180°-（∠AEF+∠CEB）=60°，
在△ECF和△ECB中，
∵

EF＝BE ∠FEC＝∠BEC EC＝EC

，
∴△ECF≌△ECB（SAS），
∴FC=BC=2

3

．
故答案为：平行四边形．