Question

（2013?扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=

（2013?扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：∵BF是⊙O的切线，
∴∠1=∠C，
∵∠ABF=∠ABC，
即∠1=∠2，
∴∠2=∠C，
∴AB=AC；

（2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵cos∠ADB=

AD

BD

，∴BD=

AD

cos∠ADB

=

AD

cos∠ABF

=

4

4 5

=5，
∴AB=3．
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵cos∠ABE=

AB

BE

，∴BE=

AB

cos∠ABE

=

3

4 5

=

15

4

，
∴AE=

( 15 4 )2?32

=

9

4

，
∴DE=AD-AE=4-

9

4

=

7

4

．

Answer 2

试题分析：（1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠ABF=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠ABC=∠C.，即可得AB=AC.
（2）连接BD，在Rt△ADB中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用求得结果.
（1）∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=∠C.
∵∠ABF=∠ABC，∴∠ABC=∠C.
∴AB=AC.
（2）如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，
∵，∴.
∴AB=3.
在Rt△ABE中，∠BAE=90°，
∵，∴.
∴.
∴.

Answer 3

cos∠ABF=45
这是什么意思，余弦值能有这么大的吗？