Question

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，N是棱CC1（包括端点）上的动点，现给出以下命

如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是正方形ABCD的中心，N是棱CC1（包括端点）上的动点，现给出以下命题：①对于任意的点N，都有MN⊥B1D1；②存在点N，使得MN⊥平面A1BD；③存在点N，使得异面直线MN和A1B1所成角的余弦值是63；④对于任意的点N，三棱锥B-MND1的体积为定值．其中正确命题的编号是______．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

在①中，连接A₁C₁，由正方体的几何特征知，B₁D₁⊥A₁C₁，B₁D₁⊥AA₁，
∴B₁D₁⊥平面ACC₁A₁，又MN?平面ACC₁A₁，∴B₁D₁⊥MN，
故①正确．
在②中，连接AC₁，由正方体的几何特征知，AC₁⊥A₁B，AC₁⊥A₁D，
∴AC₁⊥平面A₁BD．
当N是棱CC₁的中点时，MN∥AC₁，则MN∥平面A₁BD．
故②正确．
在③中，过N作CD的平行线NE，交DD₁于E，连接ME，
过M作MF⊥EN交NE于F，则∠FNM即为异面直线MN与A₁B₁所成的角．如右图所示．
由

CN＝DE MD＝MC ∠NCM＝∠EDM

知，Rt△EDM≌Rt△NCM，
∴ME=MN，∴EF=FN．
设正方体的棱长为2，CN=x，则cos∠FNM=

FN

MN

＝

1

x2+2

，
由0≤x≤2知，

6

6

≤cos∠FNM≤

2

2

，
而

6

3

?[

6

6

，

2

2

]，故③错误．
在④中，考虑△D₁BM，以BM为底，DD₁为高，可知S△MBD1是定值．
又CC₁∥平面BB₁D₁D，∴N到平面BB₁D₁D的距离等于CC₁到平面BB₁D₁D的距离，为定值，
∴三棱锥N-BMD₁的体积为定值，
由VB?MND1＝VN?BMD1知，三棱锥B-MND₁的体积为定值，
故④正确．
综上，正确命题是①②④．
故答案为①②④．