Question

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD；（2）若P

在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M，N分别是AB，PC的中点，（1）求证：MN∥平面PAD；（2）若PA=PC且PD=PB，求证平面PAC⊥平面ABCD．

Answer 1

证明：（1）取CD的中点E，连接ME，NE由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，
∵NE?平面PAD，PD?平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
（2）设AC，BD交于O．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴O为AC，BD中点，
∵PA=PC，PD=PB，
∴PO⊥AC，PO⊥BD，
∵AC，BD交于O，
∴PO⊥面ABCD，
又PO?面PAC，∴面PAC⊥面ABCD．