Question

（2014?涉县一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D

（2014?涉县一模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）若E是线段AD上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意可知：

9a?3b+3＝0 a+b+3＝0

，解得：

a＝?1 b＝?2

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3，∴C（0，3）．
∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．

如答图1所示，点A、B关于对称轴l对称，连接AC交l于点P，则点P为所求的点．
∵AP=BP，
∴△PBC周长的最小值是：PB+PC+BC=AC+BC．
∵A（-3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3

2

，BC=

10

．
∴△PBC周长的最小值是：3

2

+

10

．

（3）如答图2，