设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2
设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞-1，求证Sn≤n2(a1+an)，并给出...
设数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0．（Ⅰ）求证：{an}是首项为1的等比数列；（Ⅱ）若a2＞-1，求证Sn≤n2(a1+an)，并给出等号成立的充要条件．
展开
1个回答
展开全部
证明：（Ⅰ）∵Sn+1=a2Sn+a1，①
∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②
②-①可得：an+2=a2an+1
∵a2≠0，∴
＝a2
∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1
∵a2≠0，∴a1=1
∴{an}是首项为1的等比数列；
（Ⅱ）当n=1或2时，Sn＝
(a1+an)等号成立
设n≥3，a2＞-1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，an＝
，所以要证的不等式可化为
1+a2+… +a2n?1≤
(1+a2n?1)（n≥3）
即证1+a2+… +a2n≤
(1+a2n)（n≥2）
a2=1时，等号成立
当-1＜a2＜1时，a2n?1与a2n?1?1同为负；
当a2＞1时，a2n?1与a2n?1?1同为正；
∴a2＞-1且a2≠1时，（a2n?1）（a2n?1?1）＞0，即a2n+a2n?1＜1+a22n?1
上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得2(a2+… +a2n?1)＜(n?1)(1+a2n)
∴1+a2+… +a2n≤
(1+a2n)
综上，Sn≤
∴Sn+2=a2Sn+1+a1，②
②-①可得：an+2=a2an+1
∵a2≠0，∴
| an+2 |
| an+1 |
∵Sn+1=a2Sn+a1，∴S2=a2S1+a1，∴a2=a2a1
∵a2≠0，∴a1=1
∴{an}是首项为1的等比数列；
（Ⅱ）当n=1或2时，Sn＝
| n |
| 2 |
设n≥3，a2＞-1，且a2≠0，由（Ⅰ）知a1=1，an＝
| a | n?1 2 |
1+a2+… +a2n?1≤
| n |
| 2 |
即证1+a2+… +a2n≤
| n+1 |
| 2 |
a2=1时，等号成立
当-1＜a2＜1时，a2n?1与a2n?1?1同为负；
当a2＞1时，a2n?1与a2n?1?1同为正；
∴a2＞-1且a2≠1时，（a2n?1）（a2n?1?1）＞0，即a2n+a2n?1＜1+a22n?1
上面不等式n分别取1，2，…，n累加可得2(a2+… +a2n?1)＜(n?1)(1+a2n)
∴1+a2+… +a2n≤
| n+1 |
| 2 |
综上，Sn≤
