Question

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）证明面AED⊥面A1FD1

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．（1）证明AD⊥D1F；（2）证明面AED⊥面A1FD1（3）求AE与平面D1EF所成的角的余弦值．

Answer 1

解答：（1）证明：由于AD⊥DD₁，AD⊥CD，
则AD⊥平面CDD₁C₁，D₁F?平面CDD₁C₁，
则AD⊥D₁F；
（2）证明：取AB的中点G，连接FG，A₁G，
易得D₁FGA₁为平行四边形，则D₁F∥A₁G，
在正方形ABB₁A₁中，tan∠A₁GA=

A1A

AG

=2，tan∠EAB＝

1

2

，
即有∠A₁GA+∠EAB=90°，即有AE⊥A₁G，
即有AE⊥D₁F，又AD⊥D₁F，

D1F

则D₁F⊥平面AED，D₁F?平面A₁D₁F，
则面AED⊥面A₁FD₁；
（3）以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD₁所在的直线
为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
设正方形的边长为2，则A（2，0，0），E（2，2，1），D₁（0，0，2），F（0，1，0），

AE

=（0，2，1），

EF

=（-2，-1，-1），

D1F

=（0，1，-2），
设平面D₁EF的法向量为

n

=（x，y，z），
则由

n

⊥

EF

可得，

n

?

EF

=0，即-2x-y-z=0，

n

⊥

D1F

，可得，

n

?

D1F

=0，即有y-2z=0，
则取

n

=（-3，4，2），
cos＜

n

，

AE

＞=

0+8+2

5 ? 29

=

2 5

29

，
设AE与平面D₁EF所成的角为θ，
则sinθ=

霓屠Cn 推荐于2018-04-14 · 知道合伙人教育行家 霓屠Cn 知道合伙人教育行家 采纳数：1211 获赞数：5590 向TA提问 私信TA 关注 证明：1)因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AD⊥D1D，AD⊥DC，所以AD⊥面D1DF；D1F在平面D1DF上，所以AD⊥D1F。 2）见下图。作FG//A1D1交AB于G，连结A1G交AE于K；同理作EH//AD交C1C于H，连结DH交D1F于J，连结JK；则JK为平面AED和面A1FD1的交线；在Rt△ABE和Rt△A1AG中，因为AB=A1A，EB=GO；所以AE=A1G；则Rt△ABE≌Rt△A1AG；∠EAB=∠GA1A，∠AEB=∠A1GA；且∠EAB+∠A1GA=90D；所以△AKG是Rt△，AK⊥A1G；因为JK⊥A1G；JK⊥AE；所以面AED⊥面A1FD1。 3）以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立O-xyz直角坐标系。设正方体的边长为2；则A(0,0,0), D1(0,2,2), E(2,0,1), F(1,2.1); 向量AE={2,0,1}; D1E={2,-2,-1},向量D1F={1,0,-1};平面D1EF的法向量n=D1ExD1F={2,-2,-1}x{1,0,-1}={2,1,2}; 直线AE与平面D1EF所成的角的余弦值是直线向量AE与平面法向量n夹角的正弦值。用点积求的余弦值是夹角的正弦值：cosa=AE·n/(|AE||n|)={2,0,1}·{2,1,2}/[√(2^2+1)*√(2*2^2+1)]=(2*2+1*2)/3√5 =2/√5; 直线AE与平面D1EF所成的角的余弦值是√[1-(2/√5)^2]=√(1-4/5)=√5/5。 这样的题，也可以不用向量来求，但是对于一般的初学者来说，难度较大；因为必须通过直线AE，做一个平面D1EF的垂面。在这个图中，找这个垂面的难度较大。所以用向量来求解。但是，不用向量直接求解更锻炼人的空间想象能力。 推荐律师服务： 若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询 其他类似问题 2016-12-01 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是CD、A1D1中点 68 2013-02-26 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 29 2011-04-27 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，如图E、F分别是BB1，CD的中点 求证：D1F垂直平面ADE 17 2013-03-02 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是AB和AA1的中点。求证： （1）E,C,D1，F四点共面 175 2020-01-03 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,CD的中点,求证,平面AED垂直平面A1FD1 5 2013-08-24 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点 （1）证明：AD⊥D1F； 4 2016-12-01 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CD的中点，求证：平面ADE⊥平面A1FD1 2 2013-05-16 正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是BB1、CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1 9 更多类似问题 > 为你推荐： 特别推荐 “网络厕所”会造成什么影响？ 华强北的二手手机是否靠谱？ 新生报道需要注意什么？ 癌症的治疗费用为何越来越高？ 百度律临—免费法律服务推荐 超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复 免费预约 随时在线 律师指导 专业律师 一对一沟通 完美完成 等你来答 换一换 帮助更多人 下载百度知道APP，抢鲜体验 使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。 扫描二维码下载 × 个人、企业类侵权投诉 违法有害信息,请在下方选择后提交 类别 色情低俗 涉嫌违法犯罪 时政信息不实 垃圾广告 低质灌水 我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。 说明 0/200 提交 取消 领取奖励 我的财富值 0 兑换商品 -- 去登录 我的现金 0 提现 下载百度知道APP 在APP端-任务中心提现 我知道了 -- 去登录 做任务开宝箱 累计完成 0 个任务 10任务 略略略略… 50任务 略略略略… 100任务 略略略略… 200任务 略略略略… 任务列表加载中... 新手帮助 如何答题 获取采纳 使用财富值 玩法介绍 知道商城 合伙人认证 您的账号状态正常 感谢您对我们的支持 投诉建议 意见反馈 账号申诉 非法信息举报 京ICP证030173号-1   京网文【2023】1034-029号     ©2024Baidu  使用百度前必读 | 知道协议 | 企业推广 辅 助 模 式

Answer 2

证明：1)因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以AD⊥D1D，AD⊥DC，所以AD⊥面D1DF；D1F在平面D1DF上，所以AD⊥D1F。

2）见下图。作FG//A1D1交AB于G，连结A1G交AE于K；同理作EH//AD交C1C于H，连结DH交D1F于J，连结JK；则JK为平面AED和面A1FD1的交线；在Rt△ABE和Rt△A1AG中，因为AB=A1A，EB=GO；所以AE=A1G；则Rt△ABE≌Rt△A1AG；∠EAB=∠GA1A，∠AEB=∠A1GA；且∠EAB+∠A1GA=90D；所以△AKG是Rt△，AK⊥A1G；因为JK⊥A1G；JK⊥AE；所以面AED⊥面A1FD1。

3）以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立O-xyz直角坐标系。设正方体的边长为2；则A(0,0,0), D1(0,2,2), E(2,0,1), F(1,2.1); 向量AE={2,0,1}; D1E={2,-2,-1},向量D1F={1,0,-1};平面D1EF的法向量n=D1ExD1F={2,-2,-1}x{1,0,-1}={2,1,2}; 直线AE与平面D1EF所成的角的余弦值是直线向量AE与平面法向量n夹角的正弦值。用点积求的余弦值是夹角的正弦值：cosa=AE·n/(|AE||n|)={2,0,1}·{2,1,2}/[√(2^2+1)*√(2*2^2+1)]=(2*2+1*2)/3√5 =2/√5; 直线AE与平面D1EF所成的角的余弦值是√[1-(2/√5)^2]=√(1-4/5)=√5/5。

这样的题，也可以不用向量来求，但是对于一般的初学者来说，难度较大；因为必须通过直线AE，做一个平面D1EF的垂面。在这个图中，找这个垂面的难度较大。所以用向量来求解。但是，不用向量直接求解更锻炼人的空间想象能力。