Question

高中数学 高手进 圆锥曲线

已知椭圆x²/3+y²=1 问是否存在斜率K（k≠0），且过定点Q（0，3/2）的直线L，使得L与椭圆交于M和N， 还有B（0，-1） 使得BM=BN 若存在 求出L的方程，若不存在 说明理由

Answer 1

设：所求直线是y=kx＋(3/2)，代入椭圆x²/3＋y²=1即x²＋3y²=3中，得：
x²＋3[kx＋(3/2)]²=3
(1＋3k²)x²＋9kx＋(15/4)=0 【此方程两根是M、N的横坐标x1、x2】
(x1＋x2)/2=－(9k)/(2＋6k²) 【此为MN中点横坐标】
得：MN的中点坐标是(－(9k)/(2＋6k²)，(3－6k²)/(2＋6k²)
则MN的垂直平分线方程是：y=－(1/k)[x－(9k)/(2＋6k²)]＋(3－6k²)/(2＋6k²)
因BM=BN，则上述直线过点B(0，－1)，代入，得：
－1=9/(2＋2k²)＋(3－6k²))/(2＋2k²)
k²=7/2
k=±√14/2

Answer 2

过Q直线y=kx+3/2
x^2/3+y^2=1
x^2/3+(kx+3/2)^2=1
(k^2+1/3)x^2+3kx+5/4=0
Mx+Nx=-3k/(k^2+1/3)
MN中点P
Px=-3k/(2k^2+2/3)
Py=-3k^2/(2k^2+2/3)+3/2=1/(2k^2+2/3)
PB斜率为-1/k
[Py-(-1)]/Px=-1/k
[1/(2k^2+2/3)+1]/[-3k/(2k^2+2/3)]=-1/k
2k^2+5/3]=3
2k^2=4/3
k^2=2/3
k=√6/3 或k=-√6/3

Answer 3

答案 我讲一下过程 公式写起来太麻烦
设m点（x1，y1），n点（x2，y2）
因为是椭圆上 把m，n带入椭圆方程
的出x1与y1；x2与y2关系式
由于与q点在一直线上带入得出
x1，y1，x2，y2关系
再代入关系bm=bn
自己算结果吧

Answer 4

k=√6/3 或k=-√6/3