Question

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin∠C= 12 13 ，

如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC．（1）求证：AC=BD；（2）若sin∠C= 12 13 ，BC=12，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AD是BC上的高， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，∠ADC=90°， 在Rt△ABD和Rt△ADC中， ∵tanB= AD BD ，cos∠DAC= AD AC ， 又∵tanB=cos∠DAC， ∴ AD BD = AD AC ， ∴AC=BD． （2）在Rt△ADC中， sinC= 12 13 ， 故可设AD=12k，AC=13k， ∴CD= A C 2 -A D 2 =5k， ∵BC=BD+CD，又AC=BD， ∴BC=13k+5k=18k 由已知BC=12， ∴18k=12， ∴k= 2 3 ， ∴AD=12k=12× 2 3 =8．