Question

已知实数x，y同时满足4?x+27?y＝56，log27y?log4x≥16，27y-4x≤1，则x+y的取值范围是______

已知实数x，y同时满足4?x+27?y＝56，log27y?log4x≥16，27y-4x≤1，则x+y的取值范围是______．

Answer 1

当x=

1

2

，y=

1

3

时，
4?x+27?y＝4?

1

2

+27?

1

3

＝

1

2

+

1

3

＝

5

6

，
log27y?log4x＝log27

1

3

?log4

1

2

=?

1

3

+

1

2

＝

1

6

，
27y?4x＝27

1

3

?4

1

2

＝3?2＝1．
由4?x+27?y＝

1

4x

+

1

27y

＝

5

6

知，等式右边一定，左边y随x的增大而减小，
而当y减小x增大时，log₂₇y-log₄x＜

1

6

，
当x减小y增大时，27^y-4^x＞1．
均与题中所给条件不等式矛盾．
综上，只有x=

1

2

，y=

1

3

时，条件成立，
所以x+y的取值范围为{

5

6

}．
故答案为{

5

6

}．