Question

已知点P是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0，xy≠0)上的动点，F1（-c，0）、F2（c，0）为椭圆的左、右焦点，O为

已知点P是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0，xy≠0)上的动点，F1（-c，0）、F2（c，0）为椭圆的左、右焦点，O为坐标原点，若M是∠F1PF2的角平分线上的一点，且F1M⊥MP，则|OM|的取值范围是（　　）A．（0，c）B．（0，a）C．（b，a）D．（c，a）

Answer 1

解：如图，延长PF₂，F₁M，交与N点，∵PM是∠F₁PF₂平分线，且F₁M⊥MP，
∴|PN|=|PF₁|，M为F₁F₂中点，
连接OM，∵O为F₁F₂中点，M为F₁N中点
∴|OM|=

1

2

|F₂N|=

1

2

||PN|-|PF₂||=

1

2

||PF₁|-|PF₂||
∵在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0，xy≠0)中，设P点坐标为（x₀，y₀）
则|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀，
∴||PF₁|-|PF₂||=|a+ex₀-a+ex₀|=|2ex₀|=|x₀|
∵P点在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0，xy≠0)上，
∴|x₀|∈（0，a]，
又∵当|x₀|=a时，F₁M⊥MP不成立，∴|x₀|∈（0，a）
∴|OM|∈（0，c）．
故选A．