Question

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使asin∠P

已知椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P使asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，则该椭圆的离心率的取值范围为______．

Answer 1

在△PF₁F₂中，
由正弦定理得：

|PF2|

sin∠PF1 F2

＝

|PF1|

sin∠PF2F1

则由已知得：

a

|P F2|

＝

c

|PF1|

，
即：a|PF₁|=c|PF₂|
设点（x₀，y₀）由焦点半径公式，
得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀
则a（a+ex₀）=c（a-ex₀）
解得：x0＝

a(c?a)

e(c+a)

＝

a(e?1)

e(e+1)

由椭圆的几何性质知：x₀＞-a则

a(e?1)

e(e+1)

＞?a，
整理得e²+2e-1＞0，解得：e＜?

2

?1或e＞

2

?1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(

2

?1，1)，
故答案为：(

2

?1，1)．