Question

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另

如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；①求此抛物线的表达式与点D的坐标；②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；（2）如图2，若a=1，求证：无论b，c取何值，点D均为定点，求出该定点坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），
∴

4a?2b+c＝0 64a+8b+c＝0 c＝?4

，解得

a＝ 1 4 b＝? 3 2 c＝?4

，
∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

3

2

x-4；
∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．
如答图1，连接AC、BC．

由勾股定理得：AC=

20

，BC=

80

．
∵AC²+BC²=AB²=100，
∴∠ACB=90°，
∴AB为圆的直径．
由垂径定理可知，点C、D关于直径AB对称，
∴D（0，4）．

（2）解法一：
设直线BD的解析式为y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），
∴

8k+b＝0 b＝4

，解得

k＝? 1 2 b＝4

，
∴直线BD解析式为：y=-

1

2

x+4．
设M（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），
如答图2-1，过点M作ME∥y轴，交BD于点E，则E（x，-

1

2

x+4）．
∴ME=（-

1

2

x+4）-（

1

4

x²-

3

2

x-4）=-

1

4

x²+x+8．
∴S_△BDM=S_△MED+S_△MEB=

1

2

ME（x_E-x_D）+

1

2

ME（x_B-x_E）=

1

2

ME（x_B-x_D）=4ME，
∴S_△BDM=4（-

1

4

x²+x+8）=-x²+4x+32=-（x-2）²+36．
∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；

解法二：
如答图2-2，过M作MN⊥y轴于点N．
设M（m，

1

4

m²-

3

2

m-4），
∵S_△OBD=

1

2

OB?OD=

1

2

×8×4=16，
S_梯形OBMN=

1

2

（MN+OB）?ON
=

1

2

（m+8）[-（

1

4

m²-

3

2

m-4）]
=-

1

2

m（

1

4

m²-

3

2

m-4）-4（

1

4

m²-

3

2

m-4），
S_△MND=

1

2

MN?DN
=

1

2

m[4-（

1

4

m²-

3

2

m-4）]
=2m-

1

2

m（

1

4

m²-

3

2

m-4），
∴S_△BDM=S_△OBD+S_梯形OBMN-S_△MND
=16-

1

2

m（