Question

已知函数 f(x)= sin2x+cos2x+1 2cosx ．（1）求方程f（x）=0的所有解；（2）若方程f（x）=a在

已知函数 f(x)= sin2x+cos2x+1 2cosx ．（1）求方程f（x）=0的所有解；（2）若方程f（x）=a在 x∈[0， π 3 ] 范围内有两个不同的解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1） f(x)= 2sinxcosx+2 cos 2 x 2cosx =sinx+cosx(cosx≠0) ，…（4分） 由题意可得 f(x)= 2 sin(x+ π 4 ) =0，故 x+ π 4 =kπ，即  x=kπ- π 4 (k∈Z) ． …（2分） （2）当 x∈[0， π 3 ] 时，方程 a=sinx+cosx= 2 sin(x+ π 4 ) 有两个不同解， 等价于函数y=a与 y= 2 sin(x+ π 4 ) （ x∈[0， π 3 ] ）的图象有两个不同的交点． 由函数 y= 2 sin(x+ π 4 ) 的图象性质得 a∈[ 3 +1 2 ， 2 ) ．…（6分）