Question

如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与

如图，以AB为直径的⊙O经过点P，C是⊙O上一点，连接PC交AB于点E，且∠ACP=60°，PA=PD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BC：AC=1：2，求AE：EB：BD的值（请你直接写出结果）；（3）若点C是弧AB的中点，已知AB=4，求CE?CP的值．

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Answer 1

（1）PD与⊙O相切．理由如下：
连接OP，
∵∠ACP=60°，
∴∠AOP=120°，
而OA=OP，
∴∠PAO=∠APO=30°，
∵PA=PD，
∴∠D=∠PAD=30°，
∴∠APD=180°-30°-30°=120°，
∴∠OPD=120°-30°=90°，
∵OP为半径，
∴PD是⊙O的切线；
（2）连BC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵

BC

：

AC

=1：2，
∴∠ABC=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，∠ABC=60°，
而∠PAE=30°，
∴∠APE=∠DPE=60°，
∴AE垂直平分PC，如图，
设BE=x，在Rt△BCE中，∠BCE=30°，则BC=2BE=2x，
在Rt△ABC中，∠CAB=30°，AB=2BC=4x，
∴AE=AB-BE=3x，
∵PA=PD，PE⊥AD，
∴AE=DE，
∴DB=3x-x=2x，
∴AE：EB：BD的值为3：1：2；

（3）如图，连接OC，
∵弧AC=弧BC，CO⊥AD，
∴∠CAB=∠APC，OC⊥AB，
而∠ACE=∠PCA，
∴△ACE∽△PCA，
∴

AC

PC

＝

CE

AC

，即AC²=PC?CE，
∵A0²+OC²=AC²=8，
∴PC?CE=AC²=8．