如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠CBD=30°,DE垂直平分AC,求证:AB=AD

如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠CBD=30°,DE垂直平分AC,求证:AB=AD.... 如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠CBD=30°,DE垂直平分AC,求证:AB=AD. 展开
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我了个003FB
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知道答主
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解答:证明:如图,过点A作AF⊥BC于F,过点C作CG⊥BD交BD的延长线于G,连接CD、EF、EG、FG,
∵AB=AC,
∴BF=CF=
1
2
BC,
∴FG=CF=
1
2
BC,
∵∠CBD=30°,
∴∠BCG=90°-30°=60°,
∴△CFG是等边三角形,
∴FG=CG,∠CGF=60°,
∵DE垂直平分AC,
∴点E是AC的中点,
∴EF=CE=
1
2
AC,
在△ECG和△EFG中,
EF=CE
FG=CG
EG=EG

∴△ECG≌△EFG(SSS),
∴∠EGC=∠EGF=
1
2
∠CGF=
1
2
×60°=30°,
∵∠BGC=∠CED=90°,
∴点E、F、G、C四点共圆,
∴∠CDE=∠EGC=30°,
∴∠ACD=90°-∠CDE=90°-30°=60°,
∵DE垂直平分AC,
∴AD=CD,
∴△ACD是等边三角形,
∴AD=AC,
∵AB=AC,
∴AB=AD.
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