Question

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30 。 ，∠APB=60 。 。（1）求证：PB是

如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，点B是⊙O上的一点，且∠BAC=30 。 ，∠APB=60 。 。（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求弦AB及PA，PB的长。

Answer 1

.解：（1）连接OB              ∵OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=30 。             ∴∠AOB=180 。 -30 。 -30 。 =120 。              ∵PA切⊙O于点A             ∴OA⊥PA，             ∴∠OAP=90 。              ∵四边形的内角和为360 。 ∴∠OBP=360 。 -90 。 -60°-120 。 =90 。           ∴OB⊥PB 又∵点B是⊙O上的一点 ∴PB是⊙O的切线     （2）连接OP             ∵ PA、PB是⊙O的切线，              ∴PA=PB，∠OPA=∠OPB= ∠APB=30 。            在Rt△OAP中，∠OAP=90 。 ，∠OPA=30 。 ∴OP=2OA=2×2=4            ∴PA=            ∵PA=PB，∠APB=60 。                ∴PA=PB=AB=2