Question

（2012?闵行区二模）已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3），且

（2012?闵行区二模）已知：如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3），且∠OAB的余切值为13．（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，BC与直线l相交于点E．点P在直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y轴向上或向下平移后顶点为点P，写出平移后抛物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．

Answer 1

（1）由点B（0，3），可知  OB=3．
∵在Rt△OAB中，tan∠OAB=

OB

OA

=

1

3

，
∴OA=1，
∴点A（-1，0）
∵由抛物线y=-x²+bx+c经过点A、B，代入得：

0＝?1?b+c 3＝c

，
∴b=2，c=3，
∴所求抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；

（2）该抛物线的对称轴是直线l为x=1，
∵由题意知：点B关于直线l的对称点为C，
∴点C的坐标为（2，3），且点E（1，3）为BC的中点，
∴DE=1，
∵点D是△PBC的重心，
∴PD=2DE=2，
即得：PE=3，
∵由点P在直线l上，
∴点P的坐标为（1，6）；

（3）∵P（1，6），D（1，4），
∴PD=2，可知将抛物线y=-x²+2x+3向上平移2个单位，
∴平移后的抛物线的表达式为y=-x²+2x+5，
设点M的坐标为（m，n）．
△MPD和△BPD边PD上高分别为|m-1|、1，
于是，由△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，
得|m-1|=2．
解得：m₁=-1，m₂=3．
∵点M在抛物线y=-x²+2x+5上，
∴n₁=2，n₂=2，
∴点M的坐标分别为M₁（-1，2）、M₂（3，2）．