设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当x＝?33时，f（x）取得极小值?239．（1）求函数f（x）的解析式；
设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当x＝?33时，f（x）取得极小值?239．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程?13f′(x)?nx+4n...
设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且当x＝?33时，f（x）取得极小值?239．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求使得方程?13f′(x)?nx+4n+13＝0仅有整数根的所有正实数n的值；（3）设g（x）=|f（x）+（3t-1）x|，（x∈[-1，1]），求g（x）的最大值F（t）．
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（1）∵f（x）为奇函数，∴b=d=0，…（2分）
又由f′(?
)＝0及f(?
)＝?
，得a=-1，c=1，
∴f（x）=-x3+x．…（4分）
当x＜?
时，f'（x）＜0，
当?
＜x＜
时f'（x）＞0，
∴f（x）在x＝?
时取得极小值，
∴f（x）=-x3+x为所求．…（5分）
（2）方程?
f′(x)?nx+4n+
＝0，
化简得：x2-nx+4n=0，
因为方程仅有整数解，故n为整数，
又由x2=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分）
又n＝
＝(x?4)+
+8，
故x-4为16的正约数，…（9分）
所以x-4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）
（3）因为g（x）=|x3-3tx|，x∈[-1，1]是偶函数，
所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．
记h（x）=x3-3tx，∵h'（x）=3x2-3t=3（x2-t），
①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．
∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分）
②t＞0时，由h'（x）=0得，x＝
，和x＝?
，
i．当
≥1即t≥1时，h（x）在[0，1]上单调减，
∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F（t）=-h（1）=3t-1．…（14分）
ii．当
＜1即0＜t＜1时，h（x）在(0，
)单调减，(
，1)单调增，
（Ⅰ）当
＜1≤2
，即
≤t＜1时，|h(
)|＞|h(1)|，∴F(t)＝?h(
)＝2t
，
（Ⅱ）当2
又由f′(?
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
2
| ||
| 9 |
∴f（x）=-x3+x．…（4分）
当x＜?
| ||
| 3 |
当?
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
∴f（x）在x＝?
| ||
| 3 |
∴f（x）=-x3+x为所求．…（5分）
（2）方程?
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
化简得：x2-nx+4n=0，
因为方程仅有整数解，故n为整数，
又由x2=n（x-4）及n＞0知，x-4＞0．…（7分）
又n＝
| x2 |
| x?4 |
| 16 |
| (x?4) |
故x-4为16的正约数，…（9分）
所以x-4=1，2，4，8，16，进而得到n=16，18，25．…（10分）
（3）因为g（x）=|x3-3tx|，x∈[-1，1]是偶函数，
所以只要求出g（x）在[0，1]上的最大值即可．
记h（x）=x3-3tx，∵h'（x）=3x2-3t=3（x2-t），
①t≤0时，h'（x）≥0，h（x）在[0，1]上单调增且h（x）≥h（0）=0．
∴g（x）=h（x），故F（t）=h（1）=1-3t．…（12分）
②t＞0时，由h'（x）=0得，x＝
| t |
| t |
i．当
| t |
∴h（x）≤h（0）=0，故g（x）=-h（x），F（t）=-h（1）=3t-1．…（14分）
ii．当
| t |
| t |
| t |
（Ⅰ）当
| t |
| t |
| 1 |
| 4 |
| t |
| t |
| t |
（Ⅱ）当2
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