Question

边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直

边长为4的正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P是对角线AC上一动点，过点P作PF⊥CD于点F，作PE⊥PB交直线CD于点E，设PA=x，S △PCE =y，（1）求证：DF=EF；（2）当点P在线段AO上时，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（3）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出PA的长；如果不能，请简单说明理由．

Answer 1

（1）证明：延长FP交配樱旁AB于G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠D=90°（正方形的四个内角都是直角） ∵PF⊥CD， ∴∠DFG=90°， ∴四边形AGFD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形培橡）， ∴DF=AG，∠AGF=90°， ∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠BAC=45°， ∴△AGP是等腰直角三角形，即AG=GP， ∴GP=DF， 同理CF=PF=BG， ∵∠GPB+∠FPE=90°，∠GPB+∠GBP=90°， ∴∠GBP=∠FPE， 在Rt△GBP和Rt△FPE中 ∠GBP=∠FPE BG=PF ∠BGP=∠PFE ， ∴Rt△GBP≌Rt△FPE（ASA）， ∴GP=EF， 即DF=EF． （2）在Rt△AGP中，∵AP=x， ∴AG=GP= 2 2 x， DF=EF= 2 2 x， 即DE= 2 x， ∴CE=4- 2 x， ∵PF=4- 2 2 x， ∴y= 1 2 （4- 2 x）（4- 2 2 x）= 1 2 x 2 -3 2 x+8， 定义域：0≤x≤颂升2 2 ， 答：y关于x的函数关系式是y= 1 2 x 2 -3 2 x+8，自变量x的取值范围是0≤x≤2 2 ． （3）能够， ∵∠CEP≥90°， 若△PEC为等腰三角形，只能是∠CPE=∠ECP=45°， 则PE⊥CE， ∵PE⊥PB， ∴BP ∥ CD， ∴BP ∥ BA 于是P与AB共线，又P在AC上， ∴A与P共点， 此时，PA=0； 作PE⊥PB交直线CD于点E， 当PA=4时，E在DC的延长线上，PC=CE， △PEC为等腰三角形， 此时PA=4．