Question

（1）方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则p(x1+1)(x2+1)的值是______．（2）已知k为整数，且关于

（1）方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1，x2，则p(x1+1)(x2+1)的值是______．（2）已知k为整数，且关于x的方程（k2-1）x2-3（3k-1）x+18=0有两个不相同的正整数根，则k=______．（3）两个质数a，b恰好是关于x的方程x2-21x+t=0的两个根，则ba+ab=______．（4）方程x2+px+q=0的两个根都是正整数，并且p+q=1992，则方程较大根与较小根的比等于______．（5）已知方程（a2-1）x2-2（5a+1）x+24=0有两个不相等的负整数根，则整数a的值是______．

Answer 1

（1）∵方程x²+px+1997=0恰有两个正整数根，显然原方程可以化简为（x-a）（x-b）=0，根据十字相乘ab一定为1997的约数，
又∵1997是质数，
∴a=1，b=1997；
∴p=-1998
∵x₁+x₂=-p，x₁?x₂=1997，
∴

p

(x1+1)(x2+1)

=

p

x1x2+(x1+x2)+1

=

p

1997?p+1

=

p

1998?p

=

?1998

1998?(?1998)

=-

1

2

；
故答案为：-

1

2

．
（2）∵关于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有两个不相同的根，
∴

△＝9×(3k?1)2?4(k2?1)×18＞0 k2?1≠0

，
解得，k≠±1，且k≠3；
∵k为整数，且关于x的方程（k²-1）x²-3（3k-1）x+18=0有两个不相同的正整数根，
∴设两根分别为：a与b，
则ab=

18

k2?1

，a+b=

9k?3

k2?1

，ab＞0，a+b＞0，
∴k²-1=3，
∴k=2．
故答案为：2．
（3）∵两个质数a，b恰好是关于x的方程x²-21x+t=0的两个根，
∴a+b=21，ab=t，
∵a，b是质数，
∴a=2，b=19或a=19，b=2，
∴

b

a

+

a

b

=

19

2

+

2

19

=

365

38

．
故答案为：

365

38

．
（4）设两根分别为x₁，x₂，
则x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
p+q+1=x₁x₂-x₁-x₂+1=（x₁-1）（x₂-1）=1992+1=1993，
∵把1993分解，1993是质数，不能分解，
不妨假设x₁＞x₂