Question

（2014?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M

（2014?湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t＞0）．（1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，
∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，
∵PE⊥PF，
∠NPE=∠MPF=90°-∠MPE，
在△PMF和△PNE中，

∠NPE=∠MPF PN=PM ∠PNE=∠PMF

，
∴△PMF≌△PNE（ASA），
∴PE=PF；

（2）解：分两种情况：
①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图1，

由（1）得△PMF≌△PNE，
∴NE=MF=t，PM=PN=1，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE-ON=t-1，
∴b-a=1+t-（t-1）=2，
∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，

同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=OE=ON-NE=1-t，
∴b+a=1+t+1-t=2，
∴b=2-a．
综上所述，当t＞1时，b=2+a；当0＜t≤1时，b=2-a；

（3）存在；
①如图3，当1＜t＜2时，

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，M的坐标为（1，0），
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，
∴Q（1-

1

2

t，0）
∴OQ=1-

1

2

t，
由（1）得△PMF≌△PNE
∴NE=MF=t，
∴OE=t-1
当△OEQ∽△MPF
∴

OE

MP

=

OQ

MF

∴

t-1

1

=

1- 1 2 t

t

，
解得，t=

1+ 17

4

，
当△OEQ∽△MFP时，
∴

OE

MF

=

OQ

MP

，

t-1

t

=

1- 1 2 t

1

，
解得，t=

2

，
②如图4，当t＞2时，

∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称，
∴F′（1-t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛