Question

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知 c=2，C= π 3 ．（1）若△ABC的面积等

在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c．已知 c=2，C= π 3 ．（1）若△ABC的面积等于 3 ，求a，b；（2）若sinC+sin（B-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵c=2，C= π 3 ，c 2 =a 2 +b 2 -2abcosC ∴a 2 +b 2 -ab=4， 又∵△ABC的面积等于 3 ， ∴ 1 2 absinC= 3 ， ∴ab=4 联立方程组 a 2 + b 2 -ab=4 ab=4 ，解得a=2，b=2 （Ⅱ）∵sinC+sin（B-A）=sin（B+A）+sin（B-A）=2sin2A=4sinAcosA， ∴sinBcosA=2sinAcosA 当cosA=0时， A= π 2 ， B= π 6 ， a= 4 3 3 ， b= 2 3 3 ，求得此时 S= 2 3 3 当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a， 联立方程组 a 2 + b 2 -ab=4 b=2a 解得 a= 2 3 3 ， b= 4 3 3 ． 所以△ABC的面积 S= 1 2 absinC= 2 3 3 综上知△ABC的面积 S= 1 2 absinC= 2 3 3