Question

已知双曲线x2-my2=1（m＞0）的右顶点为A，而B、C是双曲线右支上两点，若三角形ABC为等边三角形，则m的取

已知双曲线x2-my2=1（m＞0）的右顶点为A，而B、C是双曲线右支上两点，若三角形ABC为等边三角形，则m的取值范围是______．

Answer 1

由双曲线的方程知A（1，0），
根据双曲线的对称性，若三角形ABC为等边三角形，则BC垂直于x轴，∴AB的倾斜角为30°
设直线AB方程为y=

3

3

（x-1），代入双曲线方程，化简，得，
（m-3）x²-2mx+m+3=0
∵满足条件的点B，存在，
∴方程（m-3）x²-2mx+m+3=0有两解，一个等于1，一个属于（1，+∞）．
∴

m?3≠0 △＝(2m)2?4(m?3)(m+3)＞0  ? ?2m 2(m?3) ＞1

，
解得，m＞3
∴m的范围是（3，+∞）
故答案为（3，+∞）