Question

二次函数判别式是什么?

Answer 1

一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是b^2-4ac，用“Δ”表示(读做“delta”)。

一元二次方程判别式的应用

（1）解方程，判别一元二次方程根的情况．

它有两种不同层次的类型：

①系数都为数字；

②系数中含有字母；

③系数中的字母人为地给出了一定的条件．

（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中字母的取值范围或字母间关系．

（3）应用判别式证明方程根的情况（有实根、无实根、有两不等实根、有两相等实根）

判别式法

代数判别式（△法）和三角判别法（δ法），它们是二次方程ax^2 + bx + c = 0和三角方程asinx + bcosx = c的根的判别定理。

其来源是二次函数y = x^2和三角函数y = sinx的值域。

1、代数判别式法（△法）

设f（x）＝ax^2 + bx + c（a≠0），则△＝b^2 - 4ac叫做二次方程f（x）＝0或二次函数f（x）的判别式。

判别定理：实系数二次方程ax^2 + bx + c = 0（a≠0）根的情况分类如下：

①△＞0等价于有两个不相等的实数根；②△＝0等价于有两个相等的实数根；③△＜0等价于有共轭二虚根。

应用判别式△解题的方法叫做代数判别式法，简记为△法。

2、三角判别法（δ法）

δ＝a^2 + b^2 - c^2叫作三角方程asinx + bcosx = c（a^2 + b^2≠0）的判别式。

判别定理：三角方程asinx + bcosx = c（a^2 + b^2≠0）在x∈R上有解得情况分类如下：

①有两条解终边等价于δ＞0；②有一条解终边等价于δ＝0；③没有实数解等价于δ＜0。

应用三角判别式δ或根据∣sinx∣≤1 ,∣cosx∣≤1解题的方法叫做三角判别法（δ法）。

Answer 2

二次函数的判别式是用来确定二次方程的解的性质的一项重要指标。对于一般的二次函数表达式：
f(x) = ax^2 + bx + c
其中 a、b、c 是实数常数，判别式可以用数学公式给出：
Δ = b^2 - 4ac
判别式 Δ 的值可以确定二次函数的解的情况。根据判别式 Δ 的值，可以分为以下三种情况：
1. 当 Δ > 0 时：
这表示判别式大于零，二次方程有两个不相等的实根。图形上表现为抛物线与 x 轴有两个交点，抛物线开口向上或向下。
2. 当 Δ = 0 时：
这表示判别式等于零，二次方程有一个实根（重根）。图形上表现为抛物线与 x 轴有一个切点，抛物线开口向上或向下。
3. 当 Δ < 0 时：
这表示判别式小于零，二次方程没有实根，而是两个共轭复数根。图形上表现为抛物线与 x 轴没有交点，抛物线开口向上或向下。
判别式的值对于理解和解决二次方程的问题非常重要，它可以帮助我们判断二次方程是否有实根，以及实根的数量和性质。

Answer 3

二次函数的判别式是用来判断二次函数的图像与x轴的交点情况，从而得到函数的性质。对于一般的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其判别式可以通过计算 b^2 - 4ac 来得到。
根据判别式的值，可以得到以下情况：
1. 当判别式 > 0 时，即 b^2 - 4ac > 0，二次函数的图像与x轴有两个不重复的交点。这表示二次函数的抛物线图像开口向上或向下，并与x轴有两个交点。
2. 当判别式 = 0 时，即 b^2 - 4ac = 0，二次函数的图像与x轴有一个重复的交点。这表示二次函数的抛物线图像与x轴相切，只有一个交点。
3. 当判别式 < 0 时，即 b^2 - 4ac < 0，二次函数的图像与x轴没有交点。这表示二次函数的抛物线图像不与x轴相交，没有实根。
判别式的值还可以提供一些其他的信息，例如：
- 如果判别式 > 0，二次函数的图像开口方向与系数 a 的正负性质有关。当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
- 如果判别式 = 0，二次函数的图像在交点处有一个极值点，也可以通过判别式的正负性质判断极值点的性质。
- 如果判别式 < 0，二次函数的图像不与x轴相交，可以通过判别式的正负性质来判断二次函数的图像是否在x轴上方或下方。
通过判别式，我们可以对二次函数的图像和性质进行初步的判断和分析。

Answer 4

二次函数的判别式是指二次函数的一般形式 ax^2 + bx + c 中的 b^2 - 4ac。判别式可以用来判断二次函数的图像与x轴的交点情况，从而确定二次函数的性质。
具体来说，判别式的值可以划分为以下三种情况：
1. 如果判别式大于0（b^2 - 4ac > 0），则二次函数与x轴有两个不同的交点，说明二次函数的图像与x轴相交于两个不同的点，函数的图像开口向上或向下并且二次函数的根是实数。
2. 如果判别式等于0（b^2 - 4ac = 0），则二次函数与x轴有一个重复的交点，说明二次函数的图像与x轴相切于某一点，函数的图像开口向上或向下并且二次函数的根是相等的实数。
3. 如果判别式小于0（b^2 - 4ac < 0），则二次函数与x轴没有交点，说明二次函数的图像在x轴上没有交点，函数的图像要么开口向上要么开口向下，并且二次函数的根是复数。
判别式在判断二次函数的性质，如开口方向、根的情况等方面起着重要的作用。它可以帮助我们更好地理解二次函数的图像和性质。

Answer 5

二次函数的判别式用于判断二次函数的根的性质和数量。对于一般形式的二次函数：
f(x) = ax^2 + bx + c
判别式（Discriminant）的公式如下：
Δ = b^2 - 4ac
其中，Δ表示判别式，b、a和c分别是二次函数的系数。
根据判别式的值，我们可以得到以下结论：
当 Δ > 0 时，二次函数有两个不相等的实根。
当 Δ = 0 时，二次函数有两个相等的实根（重根）。
当 Δ < 0 时，二次函数没有实根，而是有两个共轭复根（虚根）。
通过判别式，我们可以判断二次函数的根的性质和数量，这对于解方程、绘制函数图像以及分析函数行为都非常有用。