Question

如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分角AOC交AC于D，OF平分角COB，CF垂直O

如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分角AOC交AC于D，OF平分角COB，CF垂直OF于点F。（1）求证：四边形CDOF是矩形。（2）当角AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？请说明理由

Answer 1

解：（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），
∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴2∠COD+2∠COF=180°，
∴∠COD+∠COF=90°，
∴∠DOF=90°；
∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知），
∴OD⊥AC，AD=DC（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠CDO=90°，
∵CF⊥OF，
∴∠CFO=90°
∴四边形CDOF是矩形；
（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；
理由如下：∵∠AOC=90°，AD=DC，
∴OD=DC；
又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形；
因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．

Answer 2

1) 因OD平分角AOC，OF平分角COB，所以，∠COD+∠COF=180°/2=90°；
又因OA=OC，OD是∠AOC的分角线，所以OD⊥AC;又OD⊥OF,所以OD∥CF.
另外，∠DCO与∠FOC有共同的余角∠COD,所以∠DCO=∠FOC，从而OF∥CD,
综上所述，四边形CDOF是矩形。
2）欲使四边形CDOF是正方形，只须其邻边相等，只须∠COD=∠COF,只须∠AOC=90°，
即△AOC是直角等腰三角形。

Answer 3

分析：利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠dof=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知od⊥ac，即∠cdo=90°；根据已知条件“cf⊥of”知∠cfo=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形
证明：∵od平分∠aoc，of平分∠cob（已知），
∴∠aoc=2∠cod，∠cob=2∠cof，
∵∠aoc+∠boc=180°，
∴2∠cod+2∠cof=180°，
∴∠cod+∠cof=90°，
∴∠dof=90°；
∵oa=oc，od平分∠aoc（已知），
∴od⊥ac，ad=dc（等腰三角形的“三合一”的性质），
∴∠cdo=90°，
∵cf⊥of，
∴∠cfo=90°
∴四边形cdof是矩形；
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