Question

高数不定积分~~求大神！！∫e^(ax)sinbxdx=?

Answer 1

具体回答如下：

∫e^(ax)sinbxdx

=-1/b∫e^(ax)dcosbx

=-1/b*e^(ax)cosbx+1/b∫cosbxde^(ax)

=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²∫e^(ax)dsinbx

=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²*e^(ax)sinbx-a/b²∫sinbxde^(ax)

=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²*e^(ax)sinbx-a²/b²∫e^(ax)sinbxdx

(1+a²/b²)∫e^(ax)sinbxdx

=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²*e^(ax)sinbx

(a²+b²)∫e^(ax)sinbxdx

=-be^(ax)cosbx+ae^(ax)sinbx

∫e^(ax)sinbxdx

=[-be^(ax)cosbx+ae^(ax)sinbx]/(a²+b²)+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

∫e^(ax)sinbxdx=
=-1/b∫e^(ax)dcosbx
=-1/b*e^(ax)cosbx+1/b∫cosbxde^(ax)
=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b∫cosbxe^(ax)dx
=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²∫e^(ax)dsinbx
=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²*e^(ax)sinbx-a/b²∫sinbxde^(ax)
=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²*e^(ax)sinbx-a²/b²∫e^(ax)sinbxdx
所以
(1+a²/b²)∫e^(ax)sinbxdx=-1/b*e^(ax)cosbx+a/b²*e^(ax)sinbx
(a²+b²)∫e^(ax)sinbxdx=-be^(ax)cosbx+ae^(ax)sinbx
所以∫e^(ax)sinbxdx=[-be^(ax)cosbx+ae^(ax)sinbx]/(a²+b²)+C

Answer 3

YES