已知函数f(x)对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,当x>0时,f(x)>1
(1)求证:函数F(x)=f(x)-1是奇函数(2)求证:函数f(x)在R上是增函数(3)若f(3)=1,解不等式f(a²+a-5)<2详细过程!!!!...
(1)求证:函数F(x)=f(x)-1是奇函数
(2)求证:函数f(x)在R上是增函数
(3)若f(3)=1,解不等式f(a²+a-5)<2
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(2)求证:函数f(x)在R上是增函数
(3)若f(3)=1,解不等式f(a²+a-5)<2
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老题目了,经常被人提起,被人做。
(1)只需要证明出-F(x)=-f(x)+1= F(-x)=f(-x)-1就行了。因为x,y∈R,所以可以令y=-x, 于是由f(x+y)=f(x)+f(y)-1可以得到f(0)=f(x)+f(-x)-1
而在f(x+y)=f(x)+f(y)-1令x=y=0就有f(0)=1 ,那么f(0)=f(x)+f(-x)-1,就有
f(x)+f(-x)=2 即 f(x)=-f(-x)+2 ,两边同时乘以-1,有-f(x)=-f(-x)-2,两边再同时加1,有-f(x)+1=f(-x)-1,这就是-F(x)=F(-x),那么证明完毕
(2)我想出一种不同于其他人的方法:证明由题设f(x+y)=f(x)+f(y)-1变形
f(x+y)-f(y)=f(x)-1,因为当x>0 时,有f(x)>1,所以f(x+y)-f(y)=f(x)-1>0也就是f(x+y)-f(y)>0(由于x,y﹥0,所以x+y>y) 即,证明出了在x>0 时,f(x)递增
再证明x<0时的情况,由于函数F(x)=f(x)-1是奇函数,所以图像是关于原点对称的,且
在x>0时候有,F(x)=f(x)-1>0,那么根据对称性知道,x<0时,F(x)=f(x)-1<0,即f(x+y)-f(y)=f(x)-1<0 即 f(x+y)-f(y)<0 (因为x、y<0,所以x+y<y) 也就是当x<0时,f(x)递增
还可以马上由x<0时,F(x)=f(x)-1<0 和 x>0时,F(x)=f(x)-1>0知道x=0时,一定有F(0)=f(0)-1=0 即f(0)=1
至此,f(x)在R上递增
(3)若将条件f(3)=1改为f(3)=2,则可以求解f(a²+a-5)<2,也就是f(a²+a-5)<f(3)=2 由于本函数在R上单调增加,可以去掉函数符号a²+a-5<3,解出来就是(-1-√33)/2<a<(-1+√33)/2
(1)只需要证明出-F(x)=-f(x)+1= F(-x)=f(-x)-1就行了。因为x,y∈R,所以可以令y=-x, 于是由f(x+y)=f(x)+f(y)-1可以得到f(0)=f(x)+f(-x)-1
而在f(x+y)=f(x)+f(y)-1令x=y=0就有f(0)=1 ,那么f(0)=f(x)+f(-x)-1,就有
f(x)+f(-x)=2 即 f(x)=-f(-x)+2 ,两边同时乘以-1,有-f(x)=-f(-x)-2,两边再同时加1,有-f(x)+1=f(-x)-1,这就是-F(x)=F(-x),那么证明完毕
(2)我想出一种不同于其他人的方法:证明由题设f(x+y)=f(x)+f(y)-1变形
f(x+y)-f(y)=f(x)-1,因为当x>0 时,有f(x)>1,所以f(x+y)-f(y)=f(x)-1>0也就是f(x+y)-f(y)>0(由于x,y﹥0,所以x+y>y) 即,证明出了在x>0 时,f(x)递增
再证明x<0时的情况,由于函数F(x)=f(x)-1是奇函数,所以图像是关于原点对称的,且
在x>0时候有,F(x)=f(x)-1>0,那么根据对称性知道,x<0时,F(x)=f(x)-1<0,即f(x+y)-f(y)=f(x)-1<0 即 f(x+y)-f(y)<0 (因为x、y<0,所以x+y<y) 也就是当x<0时,f(x)递增
还可以马上由x<0时,F(x)=f(x)-1<0 和 x>0时,F(x)=f(x)-1>0知道x=0时,一定有F(0)=f(0)-1=0 即f(0)=1
至此,f(x)在R上递增
(3)若将条件f(3)=1改为f(3)=2,则可以求解f(a²+a-5)<2,也就是f(a²+a-5)<f(3)=2 由于本函数在R上单调增加,可以去掉函数符号a²+a-5<3,解出来就是(-1-√33)/2<a<(-1+√33)/2
追问
若最后一问不改呢,那应该怎样解啊
追答
最后一问若不改就是错误的,因为f(3)=1和 题设x>0时f(x)>1,矛盾
注意: f(x)=-f(-x)+2 ,两边同时乘以-1,应该有-f(x)=f(-x)-2,我那边笔误多了一个“-”
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(1)在f(x+y)=f(x)+f(y)-1中取x=y=0,得 f(0)=f0)+f(0)-1, 因而有 f(0)=1,
在f(x+y)=f(x)+f(y)-1中y=-x 得 f(0)=f(x)+f(-x)-1, 于是有 f(-x)-1=-f(x)+1=-[f(x)-1], 即 F(-x)=-F(x), 这就是说
F(x)是奇函数
(2)设x2>x1, 在 f(x+y)=f(x)+f(y)-1中取x=x2,y=-x1 得 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1, 由(1)可知
f(-x1)=-f(x1)+2, 因而有 f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+2-1, 于是有 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1,
由于x2>x1, 因此 x2-x1>0, 由条件知 f(x2-x1)>1, 于是有 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0, 即 f(x2)>f(x1),
这就证明了f(x)在R上是增函数
(3)是错题,与原假设当x>0时,f(x)>1矛盾。
在f(x+y)=f(x)+f(y)-1中y=-x 得 f(0)=f(x)+f(-x)-1, 于是有 f(-x)-1=-f(x)+1=-[f(x)-1], 即 F(-x)=-F(x), 这就是说
F(x)是奇函数
(2)设x2>x1, 在 f(x+y)=f(x)+f(y)-1中取x=x2,y=-x1 得 f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1, 由(1)可知
f(-x1)=-f(x1)+2, 因而有 f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+2-1, 于是有 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1,
由于x2>x1, 因此 x2-x1>0, 由条件知 f(x2-x1)>1, 于是有 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0, 即 f(x2)>f(x1),
这就证明了f(x)在R上是增函数
(3)是错题,与原假设当x>0时,f(x)>1矛盾。
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