Question

已知数列｛an｝，设Sn是数列的前n项和，并且满足a1=1，对任意正整数n，有Sn+1=4an+2，

①令bn=an+1-2an（n=1,2,3,...），求证｛bn｝是等比数列，并求｛bn｝的通项公式
②令cn=bn/3，求数列｛1/（log2cn+2*log2cn+1）｝的前n项和Tn

Answer 1

请明确脚标

追问

已知数列｛a（n）｝，设S（n）是数列的前n项和，并且满足a1=1，对任意正整数n，有Sn+1=4a（n）+2，
①令b（n）5=a（n）+1-2a（n）（n=1,2,3,...），求证｛bn｝是等比数列，并求｛bn｝的通项公式
②令c（n）=b（n）/3，求数列｛1/（log（2）c（n+2）*log（2）c（n+1））｝的前n项和Tn

追答

感觉你给的脚标有问题，比如第一问，如果是你给的脚标，那么本身就可以化简

追问

①令b（n）5=a（n+1）-2a（n）（n=1,2,3,...），求证｛bn｝是等比数列，并求｛bn｝的通项公式
第一问括号放错位置了

追答

解答：s2=4a1+2=6
a2=s2-a1=6-1=5
a(n+1)=s(n+1)-sn=4an+2-[4a(n-1)+2]=4an-4a(n-1)
所以：a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)=2[an-2a(n-1)]
因为：bn=a(n+1)-2an
所以：b(n-1)=an-2a(n-1)
所以：bn=2b(n-1)
b1=a2-2a1=5-2=3
所以bn是以首项为3，公比为2的等比数列
通项公式为：bn=3*2^(n-1)
cn=bn/3=2^(n-1)
则：
Tn=∑1/[(log(2)2^(n+1)*log(2)2^n]
=Σ[1/(n+1)*n]
=Σ[1/n-1/(n+1)]
=1/1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+....+1/n-1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)