Question

一个∞*0型的极限问题。

lim{x[e-(1+1/x)^x]}是否存在极限，如果存在，那么是多少？
其中x->+∞

Answer 1

x[e-(1+1/x)^x]=[e-(1+1/x)^x]/(1/x)
令1/x=t，则等效于求lim{[e-(1+t)^(1/t)]/t}，
根据洛必达法则：
lim{[e-(1+t)^(1/t)]/t} = lim{[e-(1+t)^(1/t)]'}（'表示求导数）
= lim{-[(1+t)^(1/t)]'}

因为(1+t)^(1/t) = e^(ln(1+t)/t)，所以：
[(1+t)^(1/t)]'= [e^(ln(1+t)/t)]' = e^(ln(1+t)/t)*[(t-(1+t)*ln(1+t))/(t^2*(1+t))]

t->0时ln(1+t)/t->1（用洛必达法则）,所以e^(ln(1+t)/t)->e；
(t-(1+t)*ln(1+t))/(t^2*(1+t)) —> (t-(1+t)*ln(1+t))/t^2；

对(t-(1+t)*ln(1+t))/t^2再用2次洛必达法则得到：
(t-(1+t)*ln(1+t))/t^2 -> -1/2

最终得到：
lim{[(1+t)^(1/t)]'} -> e/2

Answer 2

例如：lim（x逼近于0）=sinx/x,即为当x逼近于0时,函数极限为0/0型
lim（x逼近于∞）=tanx/x
,即为当x逼近于∞时,函数极限为∞/∞型
也就是说当x逼近于某个数值时,函数的分子和分母都分别逼近于0或∞

Answer 3

? 看不懂题目啊，是大一做的吧