Question

过点P(2,1)作直线l分别交x,y的正半轴于A,B两点，求|PA|¤|PB|取得最小值时直线l的方程

Answer 1

解：依照题意画出草图，设直线方程y=k（x-2）+1

过点P分别作x轴、y轴的垂直线，交与C、D，则PC=1，PD=2

由图可知：α=β

直线斜率k=-tanα=-tanβ

在∆APC中得：sinα=PC/PA=1/PA；PA=1/sinα

在∆BPD中得：cosβ=PD/PB=2/MB；MB=2/cosβ

PA*PB=2/sinαcosβ=4/2sinαsinβ=4/sin2α=4（1+tanα*tanα）/2tanα（三角函数的万能公式）

=2（1/tanα+tanα）≥2*2√1/tanα*tanα=4（当且仅当1/tanα=tanα时候等号成立）

此时斜率k=-tanα=-1（tanα=-1舍去）

整理得直线方程：x+y=3

希望可以帮到你~~~~~

Answer 2

设直线方程为
y-1=k(x-2)
可以算出来A(-1/k+2,0),B(0,-2k+1)
(|PA|*|PB|)^2
=[(1/k)^2+1][2^2+(2k)^2]
=4/k^2+4+4+4k^2
≥2*4+8=16
当且仅当4/k^2=4k^2时等号成立，k=±1
所求直线方程为y-1=±(x-2)

Answer 3

|PA|*|PB|≤[(|PA|+|PB|)/2]²,当且仅当|PA|=|PB|时，等号成立，即P是AB中点时。
∴A(4,0)，B(0,2)
∴直线L方程为：y=(-1/2)x+2