Question

高三数学立体几何题！

正方形的棱长为4，在正方体内放八个半径为1的球，再在这八个小球中间放一个与各个球都相切的小球，则小球的半径为？
答案为根号三减一，要过程，谢谢！
写得太乱了，简单点儿写，手机党啦～

Answer 1

八个半径为1的球放进去之后，正好放在正方体内，上下两层，一层四个，也就可以看做将棱长为4的正方体切三刀，切成八个棱长为2的小正方体，每个正方体内放一个半径为1的球。最后一个球的球心必定是大正方体的体心，也就是切出的八个小正方体的共同的那个顶点，最后一个球的半径就是这个顶点到半径为1的球的垂线。也就是说，小正方体的体对角线减去小球的直径再除以2就是所求小球的半径。。。。。。。。自己画画图吧，说不太好。。。。。。。
切成8个小正方体的体对角线长：d=根号下（2的平方加上2倍根号2的平方）=2倍根号3
故所求小球半径：r=（d-1X2）/2=根号3减1

Answer 2

解：∵在正方体内放八个半径为1的球，
∴这8个球的球心组成一个新的正方体，
连接棱长是4的正方体的对角线，
则在对角线上有8个小球中的两个还有最后放入到小球三个球依次相切，
∴最后放入到小球的直径等于新形成的棱长为2的小正方体的对角线减去两个球的半径
∴小球的直径是
根号（2方+2方+2方）-2=2根号（3）-2

∴小球的半径是直径减半及根号（3）-1