Question

已知数列{an}满足关系式a1=1/2,an+1=2an/1+an（n属于N），猜想数列{an}的通项公式并证明。

Answer 1

a(n+1)=2an/(1+an)
1/a(n+1)=(1+an)/(2an)=(1/2)(1/an) +1/2
1/a(n+1) -1=(1/2)(1/an) -1/2=(1/2)(1/an -1)
[1/a(n+1) -1]/(1/an -1)=1/2，为定值。
1/a1 -1=1/(1/2) -1=1
数列{1/an -1}是以1为首项，1/2为公比的等比数列。
1/an -1=1×(1/2)^(n-1)=1/2^(n-1)
1/an=1 +1/2^(n-1)=[2^(n-1) +1]/2^(n-1)=(2ⁿ+2)/2ⁿ
an=2ⁿ/(2ⁿ+2)
n=1时，a1=2/(2+2)=1/2，同样满足
数列{an}的通项公式为an=2ⁿ/(2ⁿ+2)

Answer 2

an=2^(n-1)/(1+2^(n-1))
用数学归纳法证明
ak=2^(k-1)/(1+2^(k-1))
ak+1=2ak/(1+ak)
=2/(1+1/a^k)
=2/(1+(1+2^(k-1))/2^(k-1))
=2^k/(1+2^k)

Answer 3

带入数据得到a2=2/3，a3=4/5，a4=8/9.所以猜想an=2n/（2n+1）