Question

在数列{an}中，a1＝1，当n大于等于2时，an.Sn.Sn-0.5成等比数列，求An的表达式，用数学归纳法证明结论

Answer 1

由已知条件可得：s(n)/a(n)=(s(n)-1/2)/s(n)，即：
(a(1)+a(2)+...+a(n-1)+a(n))/a(n)=(a(1)+a(2)+...+a(n-1)+a(n)-1/2)/(a(1)+a(2)+...+a(n-1)+a(n))
所以：a(n)＝－2(a(1)+a(2)+...+a(n-1))^2/(1+2(a(1)+a(2)+...+a(n-1)))............(1)
由a(1)=1和上式递推，当n>=2时，数列{an}为：－2/3，－2/15，－2/35，－2/63，......
所以可以假设当n>=2时：a(n)=1/(2n-1)-1/(2n-3) ............(2)
数列(2)的前n项和为：s(n)=1/(2n-1)，经验证，s(n)中的n＝1时也适用。
下面用数学归纳法证明(2)式当n>=2时恒正确。
当n＝2时，由(2)式得a(n)=－2/3，由(1)式得a(n)=－2/3，所以(2)式正确；
假设n＝k时(2)式正确，即：
a(k)=1/(2k-1)-1/(2k-3)，k>=2为整数
当n=k+1时，a(k+1)=－2(a(1)+a(2)+...+a(k-1)+a(k))^2/(1+2(a(1)+a(2)+...+a(k-1)+a(k)))
=－2(s(k))^2/(1+2s(k))
由于假设n＝k时(2)式正确，所以s(k)=1/(2k-1)也正确，将s(k)=1/(2k-1)代入上式得：
a(k+1)=－2/((2k-1)(2k+1))
=1/(2k+1)-1/(2k-1)
=1/(2(k+1)-1)-/(2(k+1)-3)
所以，当n=k+1时(2)式也正确；
所以，对于n>=2的任意整数，a(n)=1/(2n-1)-1/(2n-3)恒正确。

Answer 2

好难的样子呢。。。