已知函数f(x)=2sinxcosx+sin(2x+π2).?
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解题思路:(1)利用两角和的正弦函数把函数化简为f(x)= 2 sin(2x+[π/4] ),直接求出函数f(x)的最小正周期及单调区间;
(2)由 x∈[0, π 3 ] ,求出2x+[π/4] 的范围,进而求出正弦函数值的范围,再由解析式求出函数值域.
(1)f(x)=sin2x+cos2x=
2sin(2x+
π
4)
周期T=
2π
2=π;
令2kπ−
π
2≤2x+
π
4≤
π
2+2kπ,得kπ−
3π
8≤x≤kπ+
π
8
所以,单调递增区间为[kπ−
3π
8,kπ+
π
8],k∈Z
(2)若0≤x≤
π
3,则[π/4≤2x+
π
4≤
11π
12],sin
11π
12=sin
π
12=sin(
π
4−
π
6)=
6−
2
4<sin
π
4∴
6−
2
4≤sin(2x+
π
4)≤1,
3−1
2≤
2sin(2x+
π
4)≤
2
即f(x)的值域为[
3−1
2,
2]
,1,已知函数 f(x)=2sinxcosx+sin(2x+ π 2 ) .
(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)设 x∈[0, π 3 ] ,求f(x)的值域.
(2)由 x∈[0, π 3 ] ,求出2x+[π/4] 的范围,进而求出正弦函数值的范围,再由解析式求出函数值域.
(1)f(x)=sin2x+cos2x=
2sin(2x+
π
4)
周期T=
2π
2=π;
令2kπ−
π
2≤2x+
π
4≤
π
2+2kπ,得kπ−
3π
8≤x≤kπ+
π
8
所以,单调递增区间为[kπ−
3π
8,kπ+
π
8],k∈Z
(2)若0≤x≤
π
3,则[π/4≤2x+
π
4≤
11π
12],sin
11π
12=sin
π
12=sin(
π
4−
π
6)=
6−
2
4<sin
π
4∴
6−
2
4≤sin(2x+
π
4)≤1,
3−1
2≤
2sin(2x+
π
4)≤
2
即f(x)的值域为[
3−1
2,
2]
,1,已知函数 f(x)=2sinxcosx+sin(2x+ π 2 ) .
(1)若x∈R,求f(x)的最小正周期和单调递增区间;
(2)设 x∈[0, π 3 ] ,求f(x)的值域.
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