Question

证明二元函数z=f（x，y） =xy/x^2+y^2 x，y≠0 =0 x，y=0 在（0,0）的偏导存在，但是不连续。

Answer 1

f(x,0)=0, 所以 在(0,0)，Fx=0
同理，在(0.0)，Fy=0
即偏导存在。

令x=0,则当y-->0时，limz=0
令x=y，则当x-->0,y-->0时，limz=1/2
(0.0）处极限不唯一，所以不连续。

Answer 2

证明：因为当(x,y)→(0,0)时，lim(f(x,0)-f(0,0))/x=0，lim(f(0,y)-f(0,0))/y=0
所以函数z的两个偏导数存在。
取y=kx，当(x,y)=(x,kx)→(0,0)时，
limf(x,y)=lim(kx^2)/(x^2+k^2x^2)=lim(k/(1+k^2)=k/(1+k^20）
随着k的不同，上述值不同，与极限唯一矛盾，故极限不存在。