Question

已知函数f(x)=x-1-a㏑x(a∈R).

1.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0,求实数a的值
2.求证：f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
3.若a＜0,且对任意x₁,x₂∈(0,1),都有｜f(x₁)-f(x₂)｜≤4｜1/x₁-1/x₂｜,求实数a的取值范围。

Answer 1

你好
1）f(x)'=1-a/x(x>0),f(1)'=1-a,因为切线方程为3x-y-3=0,所以，1-a=3，a=-2
2）先证充分性，因为a=1，所以f(x)=x-1-㏑x(x>0),f(x)'=1-1/x，f(x)'>0时，x>1,
所以x>1时，f(x)单调递增，0<x<1时，f(x)单调递减。f(1)min=0,因此，a=1时，f(x)≥0恒成立。
再证必要性，
当a<0时，f(x)'>0恒成立，当x→0时，f(x)→-∞，此时不满足题意。
当a>0时，令f(x)'>0，得x>a,所以x>a时，f(x)单调递增，0<x<a时，f(x)单调递减。
f(a)min=a-1-aIna,因为f(x)≥0恒成立，所以f(a)min=0,得a=1
f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1得证。
3）因为a＜0，f(x)'>0恒成立，所以f(x)单调递增，
我们令0<x1<x2<1,即证f(x₂)-f(x₁) ≤4（1/x₁-1/x₂）
即证（f(x₂)-f(x₁)）/（x2-x1）≤4/x1*x2,(0<x1<x2<1)
（f(x₂)-f(x₁)）/（x2-x1)表示f(x)在x1，x2两点的斜率
f(x)''=a/x^2>0恒成立，所以下凹函数，
当x1→x2=1时，（f(x₂)-f(x₁)）/（x2-x1)的最大值为f(1)'=1-a
当x1→x2=1时,4/x1*x2的最小值为4
若对任意x₁,x₂∈(0,1),都有（f(x₂)-f(x₁)）/（x2-x1）≤4/x1*x2，
即（f(x₂)-f(x₁)）/（x2-x1)的最大值小于等于4/x1*x2的最小值，即1-a<=4(a＜0)
解得 -3<=a<0
希望能帮你。