已知函数f(x)=x-1-a㏑x(a∈R).
1.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0,求实数a的值2.求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=13.若a<0,且对任意x₁,xS...
1.若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为3x-y-3=0,求实数a的值
2.求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
3.若a<0,且对任意x₁,x₂∈(0,1),都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4|1/x₁-1/x₂|,求实数a的取值范围。 展开
2.求证:f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1
3.若a<0,且对任意x₁,x₂∈(0,1),都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4|1/x₁-1/x₂|,求实数a的取值范围。 展开
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你好
1)f(x)'=1-a/x(x>0),f(1)'=1-a,因为切线方程为3x-y-3=0,所以,1-a=3,a=-2
2)先证充分性,因为a=1,所以f(x)=x-1-㏑x(x>0),f(x)'=1-1/x,f(x)'>0时,x>1,
所以x>1时,f(x)单调递增,0<x<1时,f(x)单调递减。f(1)min=0,因此,a=1时,f(x)≥0恒成立。
再证必要性,
当a<0时,f(x)'>0恒成立,当x→0时,f(x)→-∞,此时不满足题意。
当a>0时,令f(x)'>0,得x>a,所以x>a时,f(x)单调递增,0<x<a时,f(x)单调递减。
f(a)min=a-1-aIna,因为f(x)≥0恒成立,所以f(a)min=0,得a=1
f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1得证。
3)因为a<0,f(x)'>0恒成立,所以f(x)单调递增,
我们令0<x1<x2<1,即证f(x₂)-f(x₁) ≤4(1/x₁-1/x₂)
即证(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)≤4/x1*x2,(0<x1<x2<1)
(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)表示f(x)在x1,x2两点的斜率
f(x)''=a/x^2>0恒成立,所以下凹函数,
当x1→x2=1时,(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)的最大值为f(1)'=1-a
当x1→x2=1时,4/x1*x2的最小值为4
若对任意x₁,x₂∈(0,1),都有(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)≤4/x1*x2,
即(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)的最大值小于等于4/x1*x2的最小值,即1-a<=4(a<0)
解得 -3<=a<0
希望能帮你。
1)f(x)'=1-a/x(x>0),f(1)'=1-a,因为切线方程为3x-y-3=0,所以,1-a=3,a=-2
2)先证充分性,因为a=1,所以f(x)=x-1-㏑x(x>0),f(x)'=1-1/x,f(x)'>0时,x>1,
所以x>1时,f(x)单调递增,0<x<1时,f(x)单调递减。f(1)min=0,因此,a=1时,f(x)≥0恒成立。
再证必要性,
当a<0时,f(x)'>0恒成立,当x→0时,f(x)→-∞,此时不满足题意。
当a>0时,令f(x)'>0,得x>a,所以x>a时,f(x)单调递增,0<x<a时,f(x)单调递减。
f(a)min=a-1-aIna,因为f(x)≥0恒成立,所以f(a)min=0,得a=1
f(x)≥0恒成立的充要条件是a=1得证。
3)因为a<0,f(x)'>0恒成立,所以f(x)单调递增,
我们令0<x1<x2<1,即证f(x₂)-f(x₁) ≤4(1/x₁-1/x₂)
即证(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)≤4/x1*x2,(0<x1<x2<1)
(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)表示f(x)在x1,x2两点的斜率
f(x)''=a/x^2>0恒成立,所以下凹函数,
当x1→x2=1时,(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)的最大值为f(1)'=1-a
当x1→x2=1时,4/x1*x2的最小值为4
若对任意x₁,x₂∈(0,1),都有(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)≤4/x1*x2,
即(f(x₂)-f(x₁))/(x2-x1)的最大值小于等于4/x1*x2的最小值,即1-a<=4(a<0)
解得 -3<=a<0
希望能帮你。
Sievers分析仪
2024-10-13 广告
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