Question

limx→0=f(x)/x=1,求f(0)，要详细过程别直接给个结果

Answer 1

由lim[f(x)/x] =1 知 x->0时 f(x)必趋近于0,补充定义:f(0) =0
则 f '(0)=lim [ ( f(x)- f(0)) /(x- 0) ] = 1
构造函数 g(x)= f(x) -x,则 g '(x) = f '(x) -1,g"(x)= f"(x)>0
所以 g '(x) 是严格递增函数,当x >0 时g '(x) > g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) >0,即 f(x)> x
当 x < 0时 g '(x) < g'(0)= f'(0) -1 = 0,此时 g(x) < 0,即 f(x)< x
因此,个人感觉这道题似乎有些不严谨~

Answer 2

f'(0)= limx→0 f(x)-0 / x-0
=> limx→0 f(x)/ x -f(0)/x
=> limx→0 1 -f(0)/x
若函数在x=0点有极限也就是说f'（0）存在
所以发f(0 )必为零（ f(0)为正数时f'(0)为负无穷 ，反之同理；结果都是f'(0)不存在）
此时还可以得到f '（0）=1

Answer 3

0比0型极限才可能为1，所以等于0

Answer 4

导数定义 limx趋于0 f(x)-f(a)/x-a=f(a)的导数

Answer 5

好的

追答

由limx-＞0fx／x存在知f(0)=0,所以limx-＞0f（x）／x= limx-＞0[f(x)-f(0)]／x=f ' (0)

追问

第一个存在是怎么推出f(0)=0的

追答

反过来想，如果f（0）不为0，则limx-＞0fx／x=∞，矛盾。