Question

在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，G为CC1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：A1O垂直平面GBD.

要详细的过程

Answer 1

该题主要应用勾股定理。
将证明直线垂直于平面转化为直角△A1OG中，直角边A1O┴OG。

AO=OC=√2 a/2，即（AO）^2=a^2/2 (2分之a的平方)；
直角△OAA1中，斜边（A1O）^2=3a^2/2(2分之3a的平方）；
直角△OCG中，斜边（OG）^2=3a^2/4 (4分之3a的平方)；
直角△A1GC1中，斜边（A1G）^2=9a^2/4 (4分之9a的平方)；
则在△A1OG中，（A1O）^2+（OG）^2=9a^2/4 =（A1G）^2。
即△A1OG中，直角边A1O┴OG，OG在平面GBD中，故A1O┴平面GBD。