一元运算的二元运算的单位元、零元和元素的逆元
设为集合S上的二元运算。
(1) 若 ∃ ∈ S (或 ∃ ∈ S ), 使得对 ∀ x ∈ S 都有
x = x ( 或 x=x )
则称是 S中关于运算⌈的 左单位元 ( 称 为S中关于运算⌈的 右单位元 )。
如果 e ∈ S关于运算⌈既是左单位元又是右单位元, 则称为 单位元 或 幺元 。
(2) 若 ∃ θ l ∈ S (或 ∃ θ r ∈ S), 使得对∀ x ∈ S 都有
θ l x = θ l ( 或 x θ r = θ r )
则称 θ l 是 S中关于运算 的 左零元 (称 θ r 是 S中关于运算 的 右零元 )。若 θ ∈ S关于运算 既是左零元又是右零元, 则称它是S中关于运算 的 零元 。
(3) 设e ∈ S是运算 的单位元, x ∈ S。若 $ ∈ S (或 $ ∈ S), 使得
i x = e (或 x =e )
则称 是在运算 下元素x的 左逆元 (称 是在运算 下元素 x 的 右逆元 )。
若 y ∈ S既是x 的左逆元又是x 的右逆元, 则称 y是x 在运算 下的 逆元 。存在逆元的元素称为可逆的。
注1
♥ 在数集 N, Z, Q, R上，0是加法的单位元，1是乘法的单位元；
♥ 在 n阶实矩阵集合M n(R)上，全0的n阶矩阵是矩阵加法的单位元, n 阶单位矩阵是矩阵乘法的单位元；
♥ 在幂集P(S)上, F 是∪运算的单位元 , 全集S是∩运算的单位元, F 也是对称差运算 ⊕ 的单位元；
♥ 在上，恒等矩阵 I A 是函数复合运算的单位元。
注2
♥ 在数集N, Z, Q, R上，加法没有零元，0 是乘法的零元；
♥ 在 M n(R)上, 矩阵加法没有零元, 全 0 的 n 阶矩阵是矩阵乘法的零元;
♥ 在P(S)上, 全集 S 是∪运算的零元, F 是∩运算的零元，⊕ 没有零元；
注3
♥ 在自然数集N上，只有0有加法逆元，就是它自己；
♥ 在数集Z,Q,R上, 每个数字x关于加法运算都有逆元, 即它的相反数–x ;
♥ 在数集Q,R上, 每个非零数字x关于乘法运算都有逆元, 即它的倒数 ；
♥ 在集合M n(R)上，每个 n 阶实矩阵 M 关于矩阵加法都有逆元–M; 每个n 阶实可逆矩阵 M 关于矩阵乘法都有逆元 ;
♥ 在P(S)上，关于并运算∪，只有 F 有逆元，就是它自己；
关于交运算∩，只有全集S有逆元，就是它自己。 (1) 设为S上的二元运算。如果在S中关于该运算既存在左单元 又存在右单元 , 则必存在单位元e , 且 = =e。
(2) S上关于运算的单位元是唯一的。
证: (1) 因 是右单位元，故= ;
又因是左单位元，故 = 。从而 = 。
令 e = = , 易见 e 是单位元。
(2) 设e 和e ' 都是 S中关于运算的单位元，则
e=e e ' = e'
可见，单位元是唯一的。 (1) 设为S上的二元运算。如果在S中关于该运算既有左零元 θ l 又有右零元 θ r ，则必存在零元 θ ，且 θ l = θ r = θ .
(2) S上关于运算的零元是唯一的。
证明与上一定理类似，留作练习。 设为S上的二元运算, e 和 θ 分别为该运算的单位元和零元。如果 S 至少有两个元素，则e≠ q .
证：用反证法。假设 e= θ ，则对 ∀x ∈ S，有 x= xe= xθ = θ . 这与 S中
至少有两个元素矛盾。 设为S上的可结合的二元运算，(“可结合”见下文定义)，e 为该运算的单位元。 (1) 如果S中一个元素x在该运算下既有左逆元 又有右逆元 ，则它必有逆元 y , 且 = =y；(2) 若 x ∈ S在运算下有逆元，则逆元是唯一的。
证: (1) 由 x = e 和 x =e 得
= e = ( x ) = ( x ) = e = 。
令 y = = , 则易见 y 是 x 的逆元。
(2) 设 y 和 y ' 都是元素 x 在运算 下的逆元，则
y ' = y ' e= y '(x y)=(y ' x) y=e y=y 。
由此可见 x 的逆元是唯一的。
三.二元运算的运算律 (1)设为集合S上的二元运算. 如果对 ∀ x, y ∈ S,都有
xy=yx,
则称运算在S上具有 交换律 ，或称运算在 S上是交换的。
(2) 设为集合 S上的二元运算。如果对 ∀ x , y, z ∈ S, 都有
(x y) z = x (y z)
则称运算在S上具有 结合律 ，或称运算 在S上是结合的。
(3) 设为集合S上的二元运算。如果对 ∀ x ∈ S,都有
x x =x
则称运算 在S上具有 幂等律 ，或称运算 在S上是幂等的。
(4) 设和·是集合S上两个二元运算。如果对 ∀ x , y, z ∈ S,都有
x ·(y z)=(x · y) (x · z) (或都有 (y z) · x=(y · x) (z · x))
则称运算·对运算具有 左分配律 (或 右分配律 )。若·对既有左分配律又具有右分配律，则称·对具有 分配律 。 (1) 设和·是集合S上的两个可交换的二元运算。如果对 ∀ x , y ∈ S，都有
x·(x y)=x,
则称运算·对运算具有吸收律。如果·对具有吸收律，且对·也具有吸收律，则称运算·和在S上是 吸收的 。
(2) 设是集合S上的二元运算，如果对 ∀x , y, z ∈ S,都有
xy=xz ∧ x ≠零元) ⇒ y=z
或都有 (yx=zx ∧x ≠零元) ⇒y=z）
则称运算 在S上具有 左消去律 (或具有 右消去律 )。若运算在S上既具有左消去律又具有右消去律，则称它在S上具有 消去律 。
注1.
常见的二元运算满足交换律,结合律,幂等律和消去律的情况：
♠ & 集合的并和交不满足消去律的例子 ：
A={1,3,4,5}, B={1,2,4,5}, C={1,2,3}, D={1,3},
则 A∪C=B∪C={1,2,3,4,5}, 但A≠B；
A∩C=D∩C={1,3}, 但A≠D.
♠ & 函数的复合运算不满足消去律的例子：
注2.
★ 集合 N,Z,Q,R,C上数字的乘法对加法具有分配律；
★ n 阶实矩阵集合 M n(R) 上矩阵的乘法对加法具有分配律；
★ 幂集 P(S)上交和并运算∩与∪是互相可分配的。
注3.
幂集P(S)上的∪与∩运算满足吸收律，即 ∀ A, B ∈ P(S), 有A∪(A∩B)=A, A∩(A∪B)=A。
注4.
设是集合S上的二元运算. 若S中某元素 x 满足xx=x, 则称x为运算⌈的幂等元。显然, 若二元运算在S上具有幂等律, 则S中每个元素都是 运算的幂等元。
例 10.6 对下列二元运算, 指出其运算性质, 并求其单位元、零元和
所有可逆元的逆元。
解: (1) * 运算可交换、可结合, 是幂等的, 不存在零元。因为对 ，x * 1=1 * x=x , 故1是单位元。除1外, 其它元素无逆元, 1 的逆元是它 自己。
(2) ① ∵ 对 ∀x , y ∈ Q, x * y = x+y – xy = y+x – yx = y* x , 故*满足交换律；
② ∵ 对 ∀ x , y, z ∈ Q, 有
(x * y ) * z = (x+y – xy) * z = x+y+z – xy – xz – yz+xyz ,
x * (y * z ) = x * (y+z – yz) = x+y+z – yz – xz – xy+xyz .
可见 * 满足结合律；
③ ∵ 对 2 ∈ Q, 有 2*2=2+2–2 ′ 2=0 1 2, 故*不满足幂等律；
④ ∵ 对 ∀x , y, z ∈ Q 且 x 1 1 (1是零元)，有
x*y = x*z ⇒ x+y – xy = x+z – xz ⇒y – z = x(y – z) ⇒y = z。
故满足左消去律, 由于可交换, 故也满足右消去律, 从而*满足消去律；
⑤ 因为对 ∀ x ∈ Q，都有 x*0 = x = 0*x，故 0是*的单位元；
⑥ 因为对 ∀ x ∈ Q，都有 x*1=1=1*x，故 1是*的零元；
⑦ 因为对 ∀ x ∈ Q，欲使 x*y=0 和 y*x=0成立，即
x+y – xy = 0,
解得 ，故每一非零元x都有逆元 。
例 10.7 设A={a, b, c}, A上的二元运算 * ,,· 如表所求。
(1) 说明它们是否满足交换律、结合律、消去律和幂等律。
(2) 求出它们的单位元、零元和所有可逆的逆元。
表格
解: *运算 满足交换律、结合律和消去律 , 不满足幂等律。单位元是a;没有零元；, .
运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足消去律,单位元是a,零元是b. 仅仅a 有逆元： .
· 运算 满足交换律、结合律和幂等律 , 不满足交换律和消去律。没有单位元和零元，任何元素都无逆元。
