Question

如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF交

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由。
③探索OS×OR的值是否是定值，如果是，请求出。如果不是，说明理由。

Answer 1

（1）、
由抛物线的顶点为A（0，1），得抛物线沿y轴或y=1对称。
由矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，得CF平行x轴且沿y轴对称，即抛物线沿y轴对称；
由CF交y轴于点B（0，2），得CD=EF=2，又因矩形CDEF面积为8，得CF=8/2=4，
则CB=BF=2=DO=OE
则点C坐标为(-2，2)，点F坐标为(2，2)
设抛物线的解析式为y=ax^2+bx+c，因抛物线沿y轴对称，所以b=0，即y=ax^2+c
将点A、F的坐标分别代入得
1=c，2=a(2)^2+c，解得a=1/4
即抛物线的解析式为y=(1/4)x^2+1
（2）、
①设点P(m,s)在y=1上方，则点Q(n,r)在y=1下方，过P、Q分别作y轴的垂线，垂足分别为M、N。
则m>2，1<n<2
PM=m，PS=s=(1/4)m^2+1，BM=MO-BO=PS-BO=s-2=(1/4)m^2-1；
QN=n，QR=r=(1/4)n^2+1，BN=BO-NO=BO-QR=2-n=1-(1/4)n^2
PB=√(PM^2+BM^2)=√(m^2+((1/4)m^2-1)^2)=√(m^2+(1/16)m^4-(1/2)m^2+1)
=√((1/16)m^4+(1/2)m^2+1)=√((1/4)m^2+1)^2)=(1/4)m^2+1=PS
同理可证QB=QR
②取SE的中点为G，过点G做x轴的垂线交PQ于点H
在直角梯形PSRQ中，有SG=GR=(1/2)SR，PH=HQ=(1/2)PQ，GH=(QR+PS)/2
因PS=PB，QR=QB，所以GH=(PB+QB)/2=PQ/2=PH=QH
所以以PQ为直径的圆与x轴相切
③OS×OR=PM×QN=mn
在三角形PMB和三角形QNB中，有PM/QN=BM/BN
则m/n=((1/4)m^2-1)/(1-(1/4)n^2)，化简得(m+n)(1-mn/4)=0
由于m+n>0，所以1-mn/4=0，即mn=4
所以OS×OR的值是定值，定值为4。

追问

能给副图吗？不太清楚你的字母是标在哪里的？

Answer 2

(1)面积8，高2，所以长4，所以CF（2,2）（-2,2），又因为顶点（0,1）所以y=1/4x^2+1
(2)①，设P（x,1/4x^2+1）向量PB=（x,1/4x^2+1-2）=(x,1/4x^2-1)
|PB|=√(x^2+(1/4x^2-1)^2)=√(1/4x^2+1)^2=1/4x^2+1
|PS|=|(0,1/4x^2+1)|=|PB|
②P(x,1/4x^2+1),根据已知可求出Q(-4/x,4/(x^2)+1) （这个如果需要算你再说下）
圆心W(1/2x+2/x,1/8x^2+2/(x^2)+1)
直径PQ^2=P^2+Q^2=x^2+16/(x^2)+6+x^4/16+16/x^4
圆心到X轴的距离^2=(x^2/8+2/(x^2)+1)^2=……=PQ/4
所以为相切关系
③S、R坐标分别为(x,0)(-4/x)
so OSxOR=-4

Answer 3

解：（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得 1=c 2=4a-2b+c 2=4a+2b+c ，
解这个方程组，得a=1 4 ，b=0，c=1，
∴此抛物线的解析式为y=1 4 x2+1．（3分）
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2），
根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c．
其过点A（0，1）和C（-2.2）
1=c 2=4a+c 解这个方程组，得a=1 4 ，c=1
此抛物线解析式为y=1 4 x2+1．

（2）①证明：如图（2）过点B作BN⊥PS，垂足为N．
∵P点在抛物线y=1 4 x2+1上．可设P点坐标为（a，1 4 a2+1）．
∴PS=1 4 a2+1，OB=NS=2，BN=-a．
∴PN=PS-NS=1 4 a2-1，
在Rt△PNB中．
PB2=PN2+BN2=（1 4 a2-1）2+a2=（1 4 a2+1）2
∴PB=PS=1 4 a2+1．（6分）
②根据①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5（7分）
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度．
∴△SBR为直角三角形．（8分）
③方法一：如图（3）作QN⊥PS，
设PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．PN=b-c．
∴QN2=SR2=（b+c）2-（b-c）2
∴SR=2 bc ．（9分）
假设存在点M．且MS=x，别MR=2 bc -x．
若使△PSM∽△MRQ，
则有b x =2 bc -x c ．
即x2-2 bc x+bc=0
∴x1=x2= bc ．
∴SR=2 bc∴M为SR的中点．（11分）
若使△PSM∽△QRM，
则有b x =c 2 bc -x ．
∴x=2b bc b+c ．
∴MR MS =2 bc -x x =2 bc 2b bc b+c -1=c b =QB BP =RO OS ．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．
当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．
∴∠PMQ=90度．（9分）
取PQ中点为N．连接MN．则MN=1 2 PQ=1 2 （QR+PS）．（10分）
∴MN为直角梯形SRQP的中位线，
∴点M为SR的中点（11分）
∴RM MS =1
当△PSM∽△QRM时，RM MS =QR PS =QB BP∴QB=BP
∵PS∥OB∥QR
∴点M为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）

追问

什么眼神 我问的题目是什么都看不清