Question

如图1,已知抛物线的顶点为A(0,1),矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上,D、E在x轴上,CF 交

如图1，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，D、E在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且其面积为8．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图2，若P点为抛物线上不同于A的一点，连接PB并延长交抛物线于点Q，过点P、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为S、R．
①求证：PB=PS；
②判断以PQ为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由。
③探索OS×OR的值是否是定值，如果是，请求出。如果不是，说明理由。

Answer 1

解：（1）方法一：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．F点坐标为（2，2）．
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c．
其过三点A（0，1），C（-2.2），F（2，2）．
得 ，
解这个方程组，得a= ，b=0，c=1，
∴此抛物线的解析式为y= x2+1．（3分）
方法二：
∵B点坐标为（0.2），
∴OB=2，
∵矩形CDEF面积为8，
∴CF=4．
∴C点坐标为（-2，2）．（1分）
根据题意可设抛物线解析式为y=ax2+c．
其过点A（0，1）和C（-2.2）

解这个方程组，得a= ，c=1
此抛物线解析式为y= x2+1．
（2）解：①过点B作BN⊥BS，垂足为N．
∵P点在抛物线y= x2+1上．可设P点坐标为（a， a2+1）．
∴PS= a2+1，OB=NS=2，BN=a．
∴PN=PS-NS= （5分）
在Rt△PNB中．
PB=PN2+BN2=（ a2-1）2+a2=（ a2+1）2
∴PB=PS= ．（6分）
②根据①同理可知BQ=QR．
∴∠1=∠2，
又∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
同理∠SBP=∠5（7分）
∴2∠5+2∠3=180°
∴∠5+∠3=90°
∴∠SBR=90度．
∴△SBR为直角三角形．（8分）
③方法一：
设PS=b，QR=c，
∵由①知PS=PB=b．QR=QB=c，PQ=b+c．
∴SR2=（b+c）2-（b-c）2
∴ ．（9分）
假设存在点M．且MS=x，别MR= ．
若使△PSM∽△MRQ，
则有 ．
即x2-2 x+bc=0
∴ ．
∴SR=2
∴M为SR的中点．（11分）
若使△PSM∽△QRM，
则有 ．
∴ ．
∴ ．
∴M点即为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时．△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△MRQ．（13分）
方法二：
若以P、S、M为顶点的三角形与以Q、M、R为顶点的三角形相似，
∵∠PSM=∠MRQ=90°，
∴有△PSM∽△MRQ和△PSM∽△QRM两种情况．
当△PSM∽△MRQ时．∠SPM=∠RMQ，∠SMP=∠RQM．
由直角三角形两锐角互余性质．知∠PMS+∠QMR=90度．
∴∠PMQ=90度．（9分）
取PQ中点为N．连接MN．则MN= PQ= （QR+PS）．（10分）
∴MN为直角梯形SRQP的中位线，
∴点M为SR的中点（11分）
当△PSM∽△QRM时，
又 ，即M点与O点重合．
∴点M为原点O．
综上所述，当点M为SR的中点时，△PSM∽△MRQ；
当点M为原点时，△PSM∽△QRM．（13分）

Answer 2

757575757577757

追问

无聊