Question

离散数学问题，高分急求！（有关函数）

有m个元素的集合A，有n个元素的集合B，问有多少不同的 从A到B的的满射函数？
请附说明，谢谢！
N^M和M^N都是不正确的，考虑反例A={1,2},B={3,4}。则满射只有两种：1)f={<1,3>,<2,4>} 2)f={<1,4><2,3>}
请各位高手继续努力！！

Answer 1

如果m<n,A到B的满射个数为0；
如果m≥n,则相当于把m个物品放入n个盒子中，每个盒子至少一个。可以这样放置：分两步，先从m个盒子中取出n个，每个盒子里放入一个，这样的取法是m取n的排列，用P(m,n) 表示，其次把剩余的m-n个元素任意对应于B中的元素或者不对应，每个元素有n+1种可能，故有(n+1)^(m-n)中可能。
所以得到满射个数为 P(m,n)[(n+1)^(m-n)]

说明：这个题目在近世代数里还是比较重要的，记得不少人拿中科大的教材《抽象代数》（难度非常大）问过这题。

Answer 2

Y中的任意元任意元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射。也就是说，X中可以有空元素，但Y不能有。自己算吧，太多了。不过可以肯定不是n的m次方。

Answer 3

所谓从A到B的的满射是指对于任意的y属于B,存在x属于A,使得f(x)=y
也就是B中的n个元素必须都有且仅有一个原象.
即B中的第一个元素的原象可以是A中m个元素的任何一个,这里就有m种取法,同样B中的第二个元素的原象也可以是A中m个元素的任何一个,这里就又有m种取法,而B中一共有n个象,所以满射函数的个数即为m*m*...*m,n个m相乘,即m^n,一楼的正好弄反了.

希望我回答你你能明白.

Answer 4

如楼上所言, Y中的任意元任意元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射。
同时A中任意元素x均可成为B中元素y的原像,即B中每个元素y有m种选项择,故答案为 m*m*m*...=m^n

Answer 5

每一个A中的元素对应到B中都有n种方式,那么共有n*n*n*=n^m

Answer 6

以上答案都不对。

从A到B的函数一共有n^m个.

楼上考虑了“B中的第一个元素的原象可以是A中m个元素的任何一个”，但是函数还要求A中每一个元素在B中的象是唯一的，所以“B中的第二个元素的原象也可以是A中m个元素的任何一个”是错误的