Question

在三角形ABC中，AB=根号6-根号2，C=30°，则AC+BC的最大值是

Answer 1

由余弦定理，有：AC^2＋BC^2－2AC×BCcos∠C＝AB^2＝（√6－√2）^2＝8－4√3，
∴（AC＋BC）^2－2AC×BC－2AC×BCcos30°＝8－4√3，
∴（AC＋BC）^2－（2＋√3）AC×BC＝8－4√3。······①

显然有：AC＋BC≧2√（AC×BC），∴（AC＋BC）^2≧4AC×BC，
∴－［（2＋√3）/4］（AC＋BC）^2≦－（2＋√3）AC×BC。······②
①＋②，得：（AC＋BC）^2－［（2＋√3）/4］（AC＋BC）^2≦8－4√3，
∴4（AC＋BC）^2－（2＋√3）（AC＋BC）^2≦32－16√3，
∴（2－√3）（AC＋BC）^2≦16（2－√3），∴（AC＋BC）^2≦16，∴AC＋BC≦4。
∴（AC＋BC）的最大值是 4。