Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB于点D，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点F，过点E作EG⊥BE交AB于点G
（1）如图1，当点E为AC中点时，线段EF与EG的数量关系是？
（2）如图2，当CE/AE =1/2 ，探究线段EF与EG的数量关系并且证明；
（3）如图3，当CE/AE =1/n ，线段EF与EG的数量关系是？
（各位大神求证明）
这是图

Answer 1

第三个问题：EG＝（n＋1）EF。
∵EG⊥EF、GD⊥FD，∴E、F、D、G共圆，∴∠EGF＝∠EDF。······①
∵CE⊥BC、CD⊥BD，∴B、C、E、D共圆，∴∠CBE＝∠EDF。······②
由①、②，得：∠EGF＝∠CBE，又∠GEF＝∠BCE＝90°，∴△GEF∽△BCE，
∴EF/EG＝CE/BC，而AC＝BC＝AE＋CE，
∴EF/EG＝CE/（AE＋CE）＝（CE/AE）/［1＋（CE/AE）］＝（1/n）/（1＋1/n）＝1/（n＋1），
∴EG＝（n＋1）EF。

第一个问题：EG＝2EF。
由第三个问题的结论，有：EG＝（n＋1）EF。
∵CE＝AE，∴CE/AE＝1，∴令EG＝（n＋1）EF中的n＝1，得：EG＝2EF。

第二个问题：EG＝3EF。
由第三个问题的结论，有：EG＝（n＋1）EF。
∵CE/AE＝1/2，∴令EG＝（n＋1）EF中的n＝2，得：EG＝3EF。